Как рассчитать эволюцию и вариацию Луны в моей простой модели Солнечной системы?

Я строю модель простой солнечной системы солнце-планета-луна (не настоящая система Соль-Терра-Луна).

Цель: рассчитать положение солнца и луны на небе планеты в заданное время, а также синхронизацию астрономических событий, таких как затмения и фазы луны.

Вопрос: как объяснить гравитацию солнца, действующую на подсистему планета-луна?

Отправной точкой для моей модели является кеплерова орбитальная система с двумя телами, система планета-луна, в которой планета и луна движутся по круговым орбитам вокруг их общего барицентра. Затем эта система рассматривается как единый объект в более крупной кеплеровской орбитальной системе с двумя телами, системе солнце-[планета-луна], где солнце и барицентр планеты-луны вращаются по круговым орбитам вокруг их общего барицентра. В настоящее время Солнце не влияет на орбиту Луны вокруг планеты. Это то, что я хочу исправить.

В действительности орбиты планеты и Луны вокруг их общего центра масс не были бы идеально круговыми, а скорость их орбит вокруг их общего центра масс не была бы постоянной из-за гравитационного влияния Солнца. Как рассчитать физически точные движения?

В реальной системе Солнце-Земля-Луна отклонение орбиты Луны от равномерного кругового движения имеет несколько именованных составляющих:

• Самое большое известно как уравнение центра (EOC), и оно объясняет тот факт, что орбита Луны слегка эксцентрична (имеет форму эллипса, а не идеального круга, при этом Земля [-лунный барицентр] расположена в одном фокусе эллипс). В моей системе эксцентриситет орбиты равен нулю, поэтому этой составляющей нет.
• Следующим по величине компонентом является выброс , вызванный солнцем, когда долгота Луны отличается от ее положения, как это предсказывается простой круговой орбитой и EOC в соответствии с термином$+1.27401° \sin(2D - ℓ)$, где$D$- среднее угловое расстояние Луны от Солнца (элонгация) и$ℓ$- среднее угловое расстояние Луны от ее перигея (средняя аномалия). Я хочу рассчитать, каким будет этот термин для моей пользовательской солнечной системы.
• Третьим по величине компонентом реального возмущения Луны является вариация , также вызванная Солнцем, когда Луна находится ближе к Земле и движется быстрее в фазы полнолуния и новолуния, а дальше от Земли и движется медленнее в фазы четверти Луны. , с долготой, изменяющейся в зависимости от термина$+0.6583° \sin(2D)$. Это делает орбиту эллипсом, но с Землей в центре эллипса, а не в фокусе. Я хочу рассчитать, каким будет этот член для моей пользовательской солнечной системы, а также как расстояние зависит от этого эффекта.

Полное отклонение положения Луны в небе, вызванное эвекцией и изменением, составляет всего около двух градусов, но, поскольку ширина Луны в небе составляет всего около половины градуса, это составляет отклонение в четыре раза от ширины. Луны - довольно изрядное расстояние. Я хотел бы, чтобы максимальная ошибка в моей модели была значительно меньше.

В модели барицентр Солнце-Планета-Луна расположен в начале системы отсчета с плоскостью эклиптики в качестве точки отсчета.$xy$-плоскость, а оси орбит параллельны$z$-ось. Все орбиты круговые (или, по крайней мере, имеют нулевой эксцентриситет) и находятся в плоскости эклиптики. В$t = 0$три тела коллинеарны вдоль$x$-ось, с луной, расположенной между солнцем и планетой. Солнце и барицентр планеты-луны вращаются вокруг барицентра солнце-планета-луна ровно за 360 местных солнечных дней; планета и луна обе вращаются вокруг барицентра планета-луна примерно$\frac{360}{13}$(≈27,7) местных солнечных дней, при этом один синодический месяц (время между полнолуниями/новолуниями) составляет ровно 30 местных солнечных дней. Один местный солнечный день составляет 75 325,804 земных секунды (примерно 21 земной час), что делает один местный звездный день 75 117,145 земных секунд.

В текущей модели:

• Центр солнца имеет координаты (−SunBarycenterDistance * cos($t$), −SunBarycenterDistance * sin($t$))
• Центр планеты имеет координаты (PlanetOrbitRadius * cos($t$) + PlanetBarycenterDistance * cos(13$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) + PlanetBarycenterDistance * sin(13$t$))
• Центр Луны имеет координаты (PlanetOrbitRadius * cos($t$) — MoonOrbitRadius * cos (13$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) − MoonOrbitRadius * sin(13$t$))

Где

• SunBarycenterDistance — это расстояние между барицентром солнце-планета-луна и центром солнца, рассчитанное на основе масс солнца и подсистемы планета-луна и суммарного расстояния между ними: (DistanceSunPlanetMoon (MassPlanet + MassMoon)) / ( MassSun + MassPlanet + MassMoon)
• PlanetOrbitRadius — это расстояние между центром барицентров Солнце-Планета-Луна и центром барицентров планета-Луна, рассчитанное на основе масс Солнца и подсистемы планета-Луна и общего расстояния между ними: (DistanceSunPlanetMoon * MassSun) / (MassSun + MassPlanet + МассМун)
• PlanetBarycenterDistance — это расстояние между барицентром планета-луна и центром планеты, рассчитанное на основе масс планеты и луны и общего расстояния между ними: (DistancePlanetMoon * MassMoon) / (MassPlanet + MassMoon)
• MoonOrbitRadius — это расстояние между барицентром планеты-Луны и центром Луны, рассчитанное на основе масс планеты и Луны и общего расстояния между ними: (DistancePlanetMoon * MassPlanet) / (MassPlanet + MassMoon)
• DistanceSunPlanetMoon — это расстояние между центром Солнца и центром масс планеты-Луны, рассчитанное на основе масс Солнца, планеты и Луны и периода обращения планеты: cbrt((TimePlanetOrbit² * G * (MassSun + MassPlanet + MassMoon)) / (4π²))
• DistancePlanetMoon — это расстояние между центром планеты и центром Луны, рассчитанное на основе масс планеты и Луны и периода обращения Луны: cbrt((TimeMoonOrbit² * G * (MassPlanet + MassMoon)) / (4π²))
• G - гравитационная постоянная

Одна вещь, которая была предложена для борьбы с лунными вариациями, - это поместить Луну на дополнительный маленький эпицикл, сделав координаты центра Луны примерно такими (PlanetOrbitRadius * cos($t$) — MoonOrbitRadius * cos (13$t$) + EpicycleRadius cos(−11$t$), PlanetOrbitRadius * sin($t$) − MoonOrbitRadius * sin(13$t$) + EpicycleRadius sin(−11$t$)), но для этого мне нужно вычислить радиус эпицикла и определить, совпадает ли эффект ускорения и замедления этого эпицикла с фактическим эффектом ускорения и замедления гравитации Солнца. Я предполагаю, что мне также нужно будет поместить планету в аналогичный эпицикл, размер и время которого будут соответствовать центру масс системы планета-луна, всегда совпадающему с смоделированной точкой барицентра.

Вещи из реальной системы Солнце-Земля-Луна, которые я намеренно опускаю:

• эксцентрические орбиты, вызывающие изменения орбитальной скорости в разных точках орбиты; как упоминалось выше, орбиты модели имеют нулевой эксцентриситет
• апсидальная прецессия; поскольку орбиты круглые, апсид нет
• узловая прецессия; поскольку орбиты находятся в одной плоскости, орбитальных узлов нет.
• возмущения от других тел; модель рассматривает только одно солнце, одну планету и одну луну, без каких-либо других масс, действующих на эти три тела.
• прецессия равноденствий, вызванная общей теорией относительности, сжатием Солнца и планеты и осевым наклоном планеты; Я все еще работаю над тем, как рассчитать это, и хочу включить его в будущее, но пока не буду об этом говорить.

ДОБАВЛЕНИЕ: Я получил вопрос относительно обоснованности наличия Луны на круговой орбите вокруг барицентра планеты-Луны даже в первом приближении из-за мысли, что это заставит траекторию Луны иногда изгибаться в сторону от Солнца. Вот изображение, показывающее путь Луны (черный), наложенный на идеальный круг пути барицентра (красный). Обратите внимание, что черная дорожка всегда изгибается к солнцу, хотя кривизна и скорость относительно солнца увеличиваются и уменьшаются по мере того, как луна вращается внутри и снаружи планеты:

А вот GIF-изображение планеты и Луны, вращающихся вокруг Солнца, с центром в барицентре планеты-Луны, где след Луны показан черной линией: