Вывод третьего закона Ньютона из однородности пространства

Вывод Ландау и Лифшица делает некоторые дополнительные неявные предположения. Они предполагают, что все силы возникают в результате парных взаимодействий и что парные силы инвариантны относительно вращения. При этих двух предположениях потенциальная функция в лагранжиане равна

И тогда легко доказать третий закон Ньютона, потому что производная функции расстояния одинакова и противоположна для каждой пары частиц.

Этот тип вывода разумен с физической точки зрения для макроскопических объектов, но не приемлем с математической точки зрения, поскольку опускает важные примеры.

Нет вращательной инвариантности, нет третьего закона

Отбрасывая предположение о вращательной инвариантности, но сохраняя предположение о попарном взаимодействии, можно получить следующий контрпример в 2 измерениях с двумя частицами (A, B) с векторами положения$(A_x,A_y)$ $(B_x,B_y)$соответственно:

куда$f$любая функция, кроме$f(x)=x^2$. Этот парный потенциал приводит к равным и противоположным силам, но не коллинеарным. Линейный импульс и энергия сохраняются, но угловой момент не сохраняется, за исключением случаев, когда обе частицы находятся на линиях$y=\pm x$относительно друг друга. Потенциал, конечно, нефизичен, в отсутствие среды, подобной решетке, нарушающей вращательную инвариантность.

Прямые взаимодействия многих тел, отсутствие симметрии отражения, отсутствие третьего закона

Есть еще один класс контрпримеров, который гораздо интереснее, потому что они не нарушают законы сохранения углового момента или центра масс, и поэтому они являются физически возможными взаимодействиями в вакууме, но они нарушают третий закон Ньютона. Это киральное трехчастичное взаимодействие.

Рассмотрим 3 частицы A, B, C в двух измерениях, потенциальная функция которых равна площади знака треугольника, образованного точками A, B, C.

Если все 3 частицы коллинеарны, силы для этого потенциала 3 тел перпендикулярны общей линии, на которой они лежат. Производная площади максимальна при удалении точек от общей линии. Таким образом, вы, очевидно, не можете представить силу как любую сумму парных взаимодействий вдоль линии разделения, равных и противоположных или нет. Силы и крутящие моменты по-прежнему в сумме равны нулю, так как этот потенциал поступательно и вращательно инвариантен.

Прямое взаимодействие многих тел, симметрия пространственного отражения, дерьмовый третий закон

Если сила, действующая на k частиц, инвариантна к отражению, то она никогда не выйдет за пределы подпространства, натянутого их взаимным разделением. Это связано с тем, что если они лежат в подпространстве более низкого измерения, система инвариантна по отношению к отражениям, перпендикулярным этому подпространству, поэтому силы также должны быть такими.

Это означает, что вы всегда можете создать равные и противоположные силы между частицами, которые в сумме составляют общую силу, и сделать вид, что эти силы имеют физический смысл. Это позволяет вам в каком-то смысле спасти третий закон Ньютона. Но это придает глупости сил.

Чтобы увидеть, что это ерунда, рассмотрим потенциал площади треугольника из трех частиц, приведенный ранее, но на этот раз возьмите абсолютное значение. Результат инвариантен к отражению, но содержит разрыв в производной, когда частицы становятся коллинеарными. Вблизи коллинеарности перпендикулярные силы имеют конечный предел. Но для того, чтобы записать эти конечные силы в виде суммы равных и противоположных вкладов трех частиц, вам нужно, чтобы силы между частицами расходились при коллинеарности.

Взаимодействия трех тел естественны

Есть естественная физика, которая дает такое трехчастичное взаимодействие. Можно представить, что три тела соединены жесткими распорками без трения, которые могут свободно расширяться и сжиматься, как складные антенны, а между распорками натянут очень качественный безмассовый мыльный пузырь. Мыльный пузырь предпочитает иметь меньшую площадь в соответствии с его ненулевым поверхностным натяжением. Если динамика мыльного пузыря и распорок быстра по сравнению с частицами, вы можете проинтегрировать степени свободы мыльного пузыря, и вы получите именно такое трехчастичное взаимодействие.

Тогда причина, по которой тела сходятся вблизи коллинеарности с конечной поперечной силой, ясна — мыльный пузырь хочет схлопнуться до нулевой площади, поэтому он втягивает их внутрь. парные силы или вообще любые парные силы.

Другие случаи, когда вы получаете взаимодействие трех тел напрямую, — это когда у вас есть нелинейное поле между тремя объектами, и динамика поля быстрая. Рассмотрим кубически самодействующее массивное скалярное поле (с кубической связью$\lambda$) от классических стационарных дельта-источников силы g. Ведущим нелинейным вкладом в классический потенциал является классическое взаимодействие трех тел на уровне дерева вида

который эвристически выглядит примерно так${e^{-mr_{123}}r_{123}\over r_{12}r_{23}r_{13}}$где r - длины сторон треугольника, а$r_{123}$это периметр (это просто оценка масштабирования). Для нуклонов существенны многие потенциалы тела.

Силы из дрянного третьего закона не интегрируемы

Если вы по-прежнему настаиваете на описании третьего закона Ньютона взаимодействия трех тел, таких как частицы мыльного пузыря, и вы даете парную силу для каждой пары частиц, которая в сумме дает полное взаимодействие многих тел, эти парные силы нельзя себе представить. как исходящие от потенциальной функции. Они не интегрируемы.

Пример силы мыльного пузыря ясно показывает: если A, B, C почти коллинеарны с B между A и C, ближе к A, вы можете сдвинуть B от A к C очень близко к коллинеарности, и верните его менее близко к коллинеарному. Сила АВ действует вдоль линии разделения, а на коллинеарности она расходится, поэтому интеграл от силы по этой петле не может быть равен нулю.

Сила, конечно, все еще консервативна, в конце концов, она исходит из потенциала трех тел. Это означает, что сила двух тел AB плюс сила двух тел BC интегрируемы. Просто у переменного тока силы двух тел нет. Так что разделение совершенно глупо.

Отсутствие многотельных взаимодействий для макроскопических объектов в пустом пространстве

Взаимодействие макроскопических объектов осуществляется через контактные силы, которые обязательно парные, так как все остальные контакты находятся далеко, и электромагнитное и гравитационное поля, которые на этих масштабах очень близки к линейным. Электромагнитные и гравитационные силы оказываются линейно аддитивными между парами, и результатом является потенциал формы Ландау и Лифшица, рассматривающей парные взаимодействия, которые индивидуально инвариантны относительно вращения.

Но для плотно упакованных атомов в кристалле нет причин игнорировать трехчастичные потенциалы. Конечно, в ядре необходимы трехчастичные и четырехчастичные потенциалы, но в обоих случаях вы имеете дело с квантовыми системами.

Так что я не думаю, что третий закон особенно фундаментален. Как философская вещь, что ничто не может действовать без воздействия, это так же важно, как и любой другой общий принцип. Но как математическое изложение природы взаимодействий между частицами оно совершенно устарело. Фундаментальными вещами являются сохранение линейного количества движения, углового момента и центра масс, которые являются независимыми законами, полученными из трансляционной инвариантности, вращательной инвариантности и инвариантности Галилея соответственно. Парные силы, действующие вдоль направления отрыва, являются случайностью.

В рамках классической механики третий закон Ньютона является самостоятельным постулатом.

Третий закон Ньютона в его усиленной форме гласит, что взаимные силы действия и противодействия не только равны и противоположны между двумя телами, находящимися в положении$\vec{r}_1$а также$\vec{r}_2$, они также коллинеарны, т.е. параллельны$\vec{r}_2-\vec{r}_1$.

Когда мы выводим уравнения Лагранжа из законов Ньютона (см., например, Герберт Гольдштейн, «Классическая механика», глава 1), это может показаться немного скрытым, когда мы на самом деле используем третий закон Ньютона.

При выводе предполагается, что силы ограничений не совершают виртуальной работы.$^{1}$. Рассмотрим теперь твердое тело. Это факт, что мы в значительной степени полагаемся на третий закон Ньютона в его сильной форме, чтобы доказать, что внутренние силы ограничений (которые удерживают твердое тело вместе) не совершают виртуальной работы.

См. также принцип Даламбера и принцип виртуальной работы для получения дополнительной информации.

--

$^{1}$Это не относится, например, к силам трения скольжения, которые поэтому мы должны исключить.

Как только вы поняли, что сумма всех сил равна нулю, почему вы предположили, что внутренние силы будут иметь одно и то же коллинеарное направление (т. е. почему они должны быть противоположны вдоль одной и той же линии? Они могут быть вдоль любого направления, пока сумма равен нулю?) Кроме того, вы рассматриваете 2 частицы;$\vec{F_1}$+$\vec{F_2}$знак равно$0$может дать вам представление о том, как ведут себя силы. Обобщить на 3 и более направлений.