Гравитационное поле на поверхности сферической оболочки

Question

Гравитационное поле на поверхности сферической оболочки

юмуф

Каким было бы гравитационное поле из-за полого шара (масса: $M$ , радиус: $r$ ) на его поверхности?

Рассмотрим элементарную массу поверхности. Пусть поле из-за $dm$ быть $E_1$ и из-за $M - dm$ быть $E_2$ .

В точке внутри сферы, $E_1 = E_2$ , так как поле внутри должно быть равно нулю (направления явно будут противоположными по симметрии).

В точке сразу за пределами сферы, $E_1 + E_2 = GM/r^2$ что подразумевает $E_1 = E_2 = GM/2*r^2$ .

Теперь чистое поле на dm будет равно $E_2$ поскольку поле на себе равно нулю.

Следовательно, чистое поле на поверхности будет $GM/2*r^2$ . Но стандартный метод интегрирования дает $GM/r^2$ , что я считаю неправильным, поскольку мы добавляем поле $dm$ на себя. Так какое будет поле?

Слереа

Вам повезло, потому что буквально существует теорема, называемая теоремой оболочки, касающаяся именно этой темы.

юмуф

en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem Я уже смотрел на это, там говорится о поле внутри и вне сферы. Меня интересует поле на сфере. А что не так с моей логикой.

коммунизм

Стандартный метод правильный, а вы ошибаетесь. Поле, обусловленное элементарной массой, равно

G d m / r_{1}^{2}

$Gdm/r_{1}^{2}$ . Вы ошибаетесь, когда полагаете, что большая масса и элементарная масса будут создавать такое же большое поле. На самом деле вы ошибаетесь, что сумма полей будет

G M / r ²

$GM/r²$ это просто поле массы M. Если вы не находитесь в точном местоположении dm, тогда его поле равно нулю, а полное поле правильно, как вы сказали.

лесник

Ваш подход правильный! О каком «стандартном методе интеграции» вы говорите?

юмуф

@lesnik проверить ссылку на теорему оболочки

юмуф

@Communisty, чтобы уточнить: поле ON сферы будет GM / 2 * r ^ 2, верно? Во-вторых, забудьте на секунду о полой сфере и просто рассмотрите M - dm и dm, расположенные так, что они дают полую сферу. По вашему мнению, поле элементарной массы не будет иметь никакого вклада в результирующее поле, а полая сфера с вынутой элементарной массой все равно будет давать нулевое поле внутри. И если поле на поверхности равно GM/2*r^2, то не означает ли это, что элементарная масса даст GM/2*r^2, что приведет к GM/r^2 снаружи.

Ответы (2)

Гравитационное поле на поверхности сферической оболочки

Вам повезло, потому что буквально существует теорема, называемая теоремой оболочки, касающаяся именно этой темы.
en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem Я уже смотрел на это, там говорится о поле внутри и вне сферы. Меня интересует поле на сфере. А что не так с моей логикой.
Стандартный метод правильный, а вы ошибаетесь. Поле, обусловленное элементарной массой, равно $Gdm/r_{1}^{2}$ . Вы ошибаетесь, когда полагаете, что большая масса и элементарная масса будут создавать такое же большое поле. На самом деле вы ошибаетесь, что сумма полей будет $GM/r²$ это просто поле массы M. Если вы не находитесь в точном местоположении dm, тогда его поле равно нулю, а полное поле правильно, как вы сказали.
Ваш подход правильный! О каком «стандартном методе интеграции» вы говорите?
@lesnik проверить ссылку на теорему оболочки
@Communisty, чтобы уточнить: поле ON сферы будет GM / 2 * r ^ 2, верно? Во-вторых, забудьте на секунду о полой сфере и просто рассмотрите M - dm и dm, расположенные так, что они дают полую сферу. По вашему мнению, поле элементарной массы не будет иметь никакого вклада в результирующее поле, а полая сфера с вынутой элементарной массой все равно будет давать нулевое поле внутри. И если поле на поверхности равно GM/2*r^2, то не означает ли это, что элементарная масса даст GM/2*r^2, что приведет к GM/r^2 снаружи.

лесник · Answer 1

Вышеупомянутая теорема об оболочке объясняет, как рассчитать гравитационное поле внутри и вне оболочки.

Не совсем корректно спрашивать, какое поле именно на поверхности оболочки. Поскольку функция $g(r)$ не является непрерывным в $r = R$ .

Но правильно спросить, какая сила тяжести действует на каждую часть оболочки со стороны остальной ее части. Если сила, действующая на малую часть оболочки, $g * dm$ , то естественно сказать, что гравитационное поле на поверхности равно $g$ .

Итак, вы берете небольшую часть скорлупы $dm$ и хотим найти силу тяжести, действующую на эту часть оболочки. Ваш подход правильный, сила $G M dm / 2 R^2$ .

Я могу предложить другой подход, который дает тот же результат.

Рассчитаем потенциальную энергию оболочки. Возьмем очень маленькую его часть и вытянем на бесконечность. Мы потратили немного энергии, чтобы сделать это: $G M dm/R$ . Затем берем другую часть скорлупы и так далее. Но мелкие детали мы возьмем с разных сторон скорлупы, чтобы оставшаяся масса все же образовала сферическую скорлупу. Он будет все тоньше и тоньше, пока не растворится в ничто.

Энергия, которую мы должны потратить, зависит от оставшейся массы. $dA(m) = G m dm /R$ . Это линейная функция, и ее легко интегрировать. Суммарная энергия, которую мы потратили, составила бы $A = G M^2/2R$ . А полная гравитационная энергия оболочки равна $W=-GM^2/2R$ .

Теперь надуем сферу на $x$ . Его энергия увеличится на:

Икс * д Вт / д р "=" Икс * г М^{2} / 2 р^{2}

$x * dW/dR = x * G M^2/2R^2$

Мы также можем рассчитать энергию, которую мы потратили на то, чтобы вытащить каждую часть скорлупы вверх на $x$ . Сила, действующая на каждую маленькую часть $dm$ пропорциональна $dm$ : $f = g*dm$ . Итак, общая работа

\sum_{д м} Икс * г * д м "=" Икс * г * М

$\sum_{dm} x * g * dm = x*g*M$

Теперь сравним совершенную работу и прирост энергии:

Икс * г М^{2} / 2 р^{2} "=" Икс * г * М

$x * GM^2 / 2R^2 = x * g *M$

г "=" г М / 2 р^{2}

$g = GM/2R^2$

Ягода · Answer 2

Следуя вышеизложенному, если мы допустим, что M будет константой, кажется, что мы можем затем проинтегрировать GMdm/2R^2 по dm (от 0 до M), чтобы получить сумму или общее количество гравитационных сил на поверхности сферы, получая GM ^2/2Р^2.

Гравитационное поле на поверхности сферической оболочки

юмуф

Слереа

юмуф

коммунизм

лесник

юмуф

юмуф

Ответы (2)

лесник

Ягода

Гравитационный потенциал в центре однородной сферы

Какая связь между теоремой Ньютона о раковине и теоремой Бертрана?

Является ли это действительным доказательством случая теоремы Шелла?

Становится ли гравитация сильнее, когда вы поднимаетесь на гору?

Когда солнце расширяется, будет ли расширяться и его предел Роша?

Является ли математически точным простое определение масс объектов при расчете гравитационных сил между ними? или это просто приближение?

Обратная теорема Ньютона об оболочечной

Два тела конечного размера, рассматриваемые как две точечные массы в ньютоновской гравитации

Что было бы, если бы Земля была полой и кто-то ездил на «внутренней оболочке»?

Какова точная гравитационная сила между сферически симметричными массами?