Самая общая сила, которая может удовлетворить первую часть теоремы Ньютона о Шелле (любое сферически симметричное тело действует на внешние тела, как если бы его масса была сосредоточена в его центре), - это сила обратного квадрата. , гармонический осциллятор или сумма обоих видов сил .
Интересно, что эти два типа сил (обратный квадрат и гармонический осциллятор) также являются единственными двумя типами сил, которые удовлетворяют теореме Бертрана :
Среди потенциалов центральной силы со связанными орбитами есть только два типа потенциалов центральной силы со свойством, что все связанные орбиты также являются замкнутыми орбитами, потенциал силы обратных квадратов и потенциал гармонического осциллятора.
Обе теоремы, кажется, имеют дело с совершенно разными проблемами (замкнутые связанные орбиты и влияние сферических тел на внешние тела). Но поскольку решением обеих проблем являются силы одного типа, мне интересно, может ли быть более глубокая связь между этими двумя теоремами. Какая может быть связь между теоремой Ньютона Шелла и теоремой Бертрана?
TL;DR: Это совпадение.
Во-первых, степенные законы не совпадают для пространственные размеры:
С одной стороны, теорема Бертрана ограничена плоскостью двумерной орбиты (из-за сохранения углового момента) и не зависит от окружающего пространственного измерения. .
С другой стороны, теорема Ньютона об оболочке связана с законом Гаусса . Поверхности Гаусса - это гиперповерхности размерности .
Во-вторых, даже если мы ограничимся пространственные размеры, решения разные:
С одной стороны, теорема Бертрана работает только для закон силы и закон Гука по отдельности, но не для их нетривиальных линейных комбинаций.
С другой стороны, обратная теорема Ньютона об оболочке также работает для их линейных комбинаций.
В-третьих, известные доказательства теоремы Бертрана длиннее, а требование замкнутости орбит приводит к условию рациональности, не имеющему аналога в обратной теореме Ньютона об оболочках.
Qмеханик