S = вывод VI*/2

Пусть V и I будут мгновенными напряжением и током на нагрузке. Из определения мощности, напряжения и тока получаем соотношение для мгновенной мощности:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Это означает, что мощность в данный момент$t$равно произведению напряжения на силу тока точно в этот момент.

Я предполагаю, что вы знакомы с тем, что на самом деле означает векторное представление. Кратко скажу: вектор — это математическое сокращение для представления синусоиды на заданной неизвестной частоте.

Так,$V=V_{M} ∠ \phi _{V}$является сокращением для$v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$. Сходным образом:$I=I_{M} ∠ \phi _{I}$средства$i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$.

Умножение$v(t) \cdot i(t)$для всех$t$, дает нам форму волны мгновенной мощности для каждого$t$. Работаем над этим умножением:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

В качестве$cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$, с$u = \omega t+ \phi _{V}$и$v = \omega t+ \phi _{I}$, мы можем упростить приведенное выше уравнение до:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Этот сигнал сам по себе довольно интересен: это постоянное значение$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$суммируется по синусоиде$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$.

Это ясно показывает, что мгновенная мощность не постоянна во времени.

Основываясь на этом результате, мы видим, что средняя мощность равна неизменной составляющей$s(t)$(это довольно просто доказать математически, нужно просто решить интеграл$\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$)

Мотивированный этим результатом, а также милой геометрической интерпретацией$VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$, это значение было определено как реальная мощность , то есть мощность, которая фактически подается на нагрузку. Теперь вы знаете, что эта так называемая активная мощность есть не что иное, как средняя мощность на нагрузке.

Немного углубимся в эту концепцию (жаль, что я не могу нарисовать здесь, но я попробую):

Пусть v вектор с величиной ||v|| и фаза$\phi_v$, а i — вектор с величиной ||i|| и фаза$\phi_i$Если умножить ||i|| от$cos(\phi_v-\phi_i)$у вас есть проекция i над v . С другой стороны,$||i||sin(\phi_v-\phi_i)$называется компонентой i в квадратуре с v .

Теперь вы можете понять, почему средняя мощность имеет крутую геометрическую интерпретацию: средняя мощность — это напряжение, умноженное на проекцию тока на напряжение в векторном пространстве.

Это мотивировало создание комплексной мощности S как:

S = P + jQ

При таком определении действительная часть вектора — это в точности средняя мощность, подаваемая на нагрузку, а комплексная часть — это мощность, указанная в квадратуре , называемая реактивной мощностью (погуглите Power Triangle, чтобы увидеть геометрическую интерпретацию этого результата) .

Хорошо, теперь вернемся к$s(t)$определение, мы видим, что$P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$и$Q$, по определению и в соответствии с определением S, равно$\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Итак, как мы хотели доказать в начале:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Ну вот, то что вы хотели увидеть ;)

edit : Какова физическая интерпретация Q?

Выше я показал, какова физическая интерпретация реальной части комплексной мощности P, то есть средней мощности, подаваемой на нагрузку. Но что такое Q, как его можно визуализировать? Он основан на том факте, что cos и sin ортогональны , и принцип суперпозиции можно применить к мощности, если две формы волны, участвующие в расчете, ортогональны. Давайте углубимся в математику, потому что это действительно важно.

Используя полученный выше результат:$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$