Почему мы не дифференцируем скорость по положению в лагранжиане?

Это отличный вопрос! И ответ коренится в происхождении уравнений Эйлера-Лагранжа как решений вариационного принципа Гамильтона.

Напомним, что уравнения Эйлера-Лагранжа являются результатом экстремума действия

Теперь обычным выводом является рассмотрение вариаций$\delta q(t), \delta q(0) = \delta q(T) = 0$, который дает

Теперь применяем обычное интегрирование по частям,

Это отличный вопрос (и я необъективен, потому что он у меня тоже есть), кажется, никто не может на него хорошо ответить. Вот несколько тем, которые я нашел об этом, которые обсуждают это:
(1) https://physics.stackexchange.com/questions/168551/independence-of-position-and-velocity-in-lagrangian-from-the-point- of-view-of-ph
(2) https://physics.stackexchange.com/questions/885/why-does-calculus-of-variations-work

Лучшее, что мне удалось разглядеть, это следующее: уравнение Эйлера-Лагранжа по существу определяет скорость как производную от положения по времени. Без предположения об уравнении Эйлера-Лагранжа скорость НЕ является производной положения по времени.

Когда мы рассматриваем фазовое пространство,$q$и$\dot{q}$являются просто переменными, поэтому я буду обозначать$\dot{q}=r$. Т.е. в общем случае между$q$и$\dot{q}$.

Таким образом, лагранжиан — это обычная функция двух переменных.

(В простейшем случае фазовое пространство — это просто$\mathbb{R}^3$с топорами$t,q,r$).

Затем уравнение Эйлера-Лагранжа дает нам конкретную кривую в фазовом пространстве ( НЕ все фазовое пространство).

Кривая имеет три измерения, и мы можем спроецировать ее на$tq$самолет.

На этой плоскости кривая определяет$q$неявно как функция$t$(Я не знаю, как это доказать и почему именно так, но похоже, что это так).

Итак, у нас есть функция, обозначим ее$x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$такой, что для всех$t$:$x(t)=q$, т.е.$x: t \mapsto q$.

По какой-то причине (которую я тоже не знаю и доказать не могу)$x(t)$является дифференцируемой функцией$t$. Так$x'(t)$хорошо определена для всех$t$.

Поэтому для каждой точки$t \in \mathbb{R}$, у нас есть точка в$\mathbb{R}^2$=tq-плоскость, которая$(t, x(t))=(t,q)$определяется неявно проекцией кривой, заданной решением уравнения Эйлера-Лагранжа.

Поэтому для любой точки проекции кривой на tq-плоскость мы рассматриваем исходную точку в$\mathbb{R}^3$это было спроектировано из -->$(t,q,r)=(t,x(t),r)$.

Теперь уравнения Эйлера-Лагранжа таковы, что оказывается, что$x'(t)=r$(Я тоже не знаю, как это доказать) -- следовательно, наша точка на этой кривой в трехмерном пространстве может быть записана как$(t,x(t),x'(t))=(t,x(t),r)=(t,q,r)$.

Поскольку физики уже заранее знают, что для кривой в трехмерном пространстве , определяемой уравнением Эйлера-Лагранжа, которое они будут рассматривать (обратите внимание, что они не рассматривают никакую оставшуюся часть фазового пространства, где это НЕ верно), будет быть правдой, что$r=x'(t)$и$q=x(t)$, они просто вызывают переменные$x$и$\dot{x}$то есть

Обозначения, которые используют физики, — это небрежное злоупотребление обозначениями, которые заранее предполагают, что будет иметь место только кривая решения уравнения Эйлера-Лагранжа (что эквивалентно принципу наименьшего действия) (поскольку они всегда предполагают, что оно выполняется).

Так что в каком-то смысле (если рассматривать всю$r$оси в фазовом пространстве, а не только те точки, которые входят в состав кривой решения уравнения Эйлера-Лагранжа)$\dot{x}$ это не скорость$x$, так что на самом деле это просто независимые переменные.

Я хотел бы сам получить строгое доказательство всего этого, но пока это единственный ответ, который имел для меня смысл.

Картинка, которая как бы объясняет идею того, что я пытаюсь сказать:

Я думаю, что вы запутались в обозначениях частной производной. Если$L$является функцией двух переменных,$L:(x,y)\mapsto L(x,y)$,$\dfrac{\partial L}{\partial x}$является производной по первой переменной и$\dfrac{\partial L}{\partial y}$относительно второго ( если записать эти производные$\partial_1 L$и$\partial_2 L$, путаницы быть не может). Затем$x$и$y=\dot x$две независимые переменные функции$L$и$\partial_2 L$является производной от$L$относительно второй переменной. Здесь вам нужно оценить эту вторую производную в конкретном значении (т.е.$\dot x$).

Суммируя,$x$и$\dot x$являются независимыми переменными$L$.

[Второй ответ, отдельно, потому что он другой]

Может быть, это поможет: эту независимость положения и скорости можно увидеть в уравнении Ньютона: это дифференциальное уравнение второго порядка . Чтобы решить его (уникально) для системы с 1 степенью свободы, вам нужны два начальных условия (начальное положение и начальная скорость).

То, что лагранжиан частицы, движущейся с малыми скоростями, может быть выражен в указанном виде, является экспериментальным наблюдением. Принцип наименьшего действия ограничивает способ, которым частица может исследовать свое фазовое пространство. Тогда для применения принципа наименьшего действия для определения уравнения движения координата и скорость должны рассматриваться независимо друг от друга. Можно представить себе ситуацию, когда лагранжиан зависел бы также от$\ddot{x}$, в таком случае$x$,$\dot{x}$и$\ddot{x}$лечили бы самостоятельно. Однако наш мир, похоже, не ведет себя так.