Мой вопрос относится к разделу X книги 1 «Принципов» Исаака Ньютона, в котором речь идет о движении частиц по искривленным поверхностям. Я читал, что в предложении 56 Ньютон нашел траекторию частицы на искривленной поверхности в случае, когда центр центростремительной силы лежит на оси поверхности. Это предложение звучит так:
«Предоставление квадратуры криволинейных фигур, а также закона центростремительной силы, направленной к данному центру, и искривленной поверхности, ось которой проходит через этот центр, чтобы найти траекторию, которую тело будет описывать на этой поверхности, учитывая его начальное положение и скорость».
Полагая центр центростремительной силы находящимся на бесконечном расстоянии (разумеется, на оси), можно получить однородное гравитационное поле. Это очень интересный момент, о котором я нашел мало материала, поскольку определение движения частицы на искривленной поверхности сопряжено со сложностями, и я думаю, что это даже каким-то образом связано с геодезическими на искривленной поверхности.
Я задаю этот вопрос, так как мне не удалось найти материал об этом предложении, поэтому, если кто-то знает хорошую ссылку, в которой анализируется этот момент, я буду рад ее прочитать.
Вы на что-то здесь. В разделе X книги 1 «Начал» обсуждается движение частиц, ограниченных кривыми или поверхностями, под действием центральных сил (то есть сил, направленных к фиксированной точке, центру, величина которых зависит только от расстояния до него). Это пример динамики с ограничениями, теперь связанный с принципом виртуальной работы Даламбера (сформулированным Джоном Бернулли, см. Взгляд Можена на восемнадцатый век ), и если мы возьмем частный случай нулевой центральной силы, траектории будут действительно быть геодезическими на поверхности. Удаление центра в бесконечность при увеличении интенсивности может привести к постоянному силовому полю в пределе, Ньютон рассматривает этот более простой случай для кривых, но не для поверхностей.
Переведем предложение 56 на современный язык. «Центростремительная сила, направленная к данному центру» — это центральная сила, «криволинейная поверхность, ось которой проходит через этот центр» — это поверхность вращения, ось которой проходит через центр силы, а «задание квадратуры криволинейных фигур» означает, что Ньютон довольствоваться сведением задач к нахождению площадей искривленных областей, к квадратурам. Таким образом, предложение говорит о том, что начальная задача для движения по поверхности вращения под действием центральной силы сводится к квадратуре. Доказательство опирается на предыдущее Предложение 55, где Ньютон доказывает, что если траектория частицы на поверхности спроецирована на плоскость, перпендикулярную оси, ее радиус-вектор будет охватывать равные площади за одинаковое время.произвольным центральным силам и движениям, ограниченным поверхностями вращения, а не только плоскостями. С точки зрения исчисления это дает первый интеграл движения , который объясняет сведение к квадратуре.
Геодезическая задача — частный случай задачи Ньютона. Это не совсем «решение» (как нахождение эллипсов, парабол и гипербол для закона обратных квадратов), но все же. Струик дает некоторую раннюю историю геодезических в своих лекциях по классической дифференциальной геометрии (4-2), не упоминая Ньютона и Принципов, хотя он утверждает, что геодезическая задача на поверхности вращения сводится к квадратуре:
"История геодезических линий начинается с решения Иоанном Бернулли задачи о кратчайшем расстоянии между двумя точками на выпуклой поверхности (1697-1698). Он ответил, что соприкасающаяся плоскость («плоскость, проходящая через три точки quolibet proxima») всегда должна быть перпендикулярна касательной плоскости. Дальнейшую историю см. в P. Stackel, Bemerkungen zur Geschichte der geodatischen Linien, Berichte sachs. акад. Висс., Лейпциг, 45, 1893, стр. 444-467. Название «геодезическая линия» в его нынешнем значении происходит, по Штакелю, от J. Liouville, Journal de mat hem. 9, 1844, с. 401; уравнение геодезических впервые было получено Эйлером в его статье De linea brevissima in superficie quacumque duo quaelibet puncta jungente, Comment. акад. Петрополь. 3 (год объявления 1728 г.), 1732 г .; Эйлер"
Предыдущие предложения раздела X относительно движения, ограниченного кривыми, также представляют интерес. Предложения 50-53 имеют дело с движением, ограниченным циклоидой, и проливают новый свет на его известную связь с маятниковыми часами, открытыми Гюйгенсом . Это подробно обсуждается в книге Науенберга «Гюйгенс и Ньютон о кривизне и ее приложениях к динамике »:
Вопрос касается основной причины изохронности колебаний тела, движущегося по циклоидальной траектории под действием постоянной силы тяжести. Они установили, что касательная к циклоидальной траектории составляющая силы тяжести пропорциональна расстояние вдоль этого пути. Этот результат подразумевает, что другие физические системы, где сила линейна с расстоянием, приводят к изохронным или гармоническим колебаниям. Самый известный пример — восстанавливающая сила пружины» .
Возможно, вас заинтересуют «Начала Ньютона для обычного читателя» Чандрасекара . Он систематически переводит евклидову ньютоновскую теорию в современное исчисление, раздел за разделом, и комментирует их, но явно пропускает раздел X. В книге Брессуда « Второй курс исчисления: от небесной механики к специальной теории относительности» рассматривается второй закон Кеплера для гравитации как в теории Ньютона, так и в расчетное обозначение.
пользователь 2554