Орбитальная прецессия Меркурия в специальной теории относительности

Я нашел в итальянской книге (Бароне), что с использованием специальной теории относительности прецессия составляет 1/6 наблюдаемого 43''/столетия. В книге есть смысл рассматривать аргумент, который обычно игнорируют (прецессия орбиты в специальной теории относительности), но я нахожу изложение очень кратким, поэтому я попытался быть более ясным и связал результат с конкретным начальным условием. Я нахожу восхитительной эту проблему, и я нахожу очаровательным то, что этот странный анализ, несмотря на то, что он не дает правильного значения, попадает прямо в порядок величины.

Предположим, что в начале осей находится Солнце, и рассмотрим планету с незначительной массой, с начальным положением и скоростью, как на этом рисунке:

ШАГ 1: сохранение углового момента в теории относительности

Как это происходит в классической механике, мы можем определить$\mathbf M = \mathbf r \times \mathbf F$и$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$, обнаружив, что$\dot {\mathbf L} = \mathbf M$(почему эта важная тема игнорируется в книгах по теории относительности? Это уравнение работает и в теории относительности, потому что и в теории относительности сила является производной импульса по времени, имеющей то же направление скорости).

ШАГ 2: запишите по-другому релятивистский угловой момент

С использованием$\mathbf p = \gamma m \mathbf{v}$, скорость в полярных координатах ($\mathbf{v} = \dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\mathbf{\theta}}$: я использую шляпу для версоров, но я не могу писать греческие буквы жирным шрифтом) и пишу положение вектора как$\mathbf{r} = r \hat{\mathbf{r}}$, мы можем записать релятивистский угловой момент таким образом

$$\mathbf L = \frac{m r^2 \dot{\theta}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \mathbf{\hat z}$$ где $\mathbf{\hat z} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}}$(иногда называют $\mathbf k$). Теперь заметьте, что $$\dot{r} = \bar r \dot{\theta}$$ где мы использовали обозначение $\bar r = \frac{dr}{d\theta}$. Итак, у нас есть это $v^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2$можно так написать $$v^2 = (\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2$$ Это позволяет нам писать $|\mathbf L|$таким образом $$L = \frac{m r^2 \dot{\theta}}{\sqrt{1-\frac{(\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2}{c^2}}}$$

ШАГ 3: напишите дифференциальное уравнение, управляющее орбитой

Из приведенного выше уравнения имеем

$$\dot{\theta}^2 = \frac{1}{\frac{\bar r^2 + r^2}{c^2} + \frac{m^2 r^4}{L^2}}$$ Подставив это в сохранение релятивистской энергии, используя $v^2 = (\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2$можно написать вот так $$E = V + \frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{(\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2}{c^2}}}$$ мы получаем, после некоторых вычислений, $$E = V + mc^2 \sqrt{1+ \frac{L^2 (\bar r^2 + r^2)}{m^2 r^4 c^2}}$$ Отсюда получаем это дифференциальное уравнение $$\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2 = \frac{r^4}{L^2 c^2} \left[ (E-V)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Теперь нам «просто» нужно ее решить.

ШАГ 4: упростить дифференциальное уравнение

Замещение$u=\frac{1}{r}$(Заметь$\frac{dr}{d\theta} = - \frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta}$) в полученное ДУ и умножив на$u^4$, мы получаем

$$\left( \frac{du}{d\theta} \right)^2 + u^2 = \frac{1}{L^2 c^2} \left[ (E-V)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Наша потенциальная энергия $V=\frac{-\alpha m}{r}$(где $\alpha = G M_\odot$), так $$\left( \frac{du}{d\theta} \right)^2 + u^2 = \frac{1}{L^2 c^2} \left[ (E+\alpha m u)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Делать производную в $\theta$: $$2 \frac{du}{d\theta} \frac{d^2 u}{d\theta^2} + 2 u \frac{du}{d\theta} = \frac{1}{L^2 c^2} \left( 2 \alpha^2 m^2 u \frac{du}{d\theta} + 2 E \alpha m \frac{du}{d\theta} \right)$$ Поделить на $2 \frac{du}{d\theta}$и переставить таким образом: $$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = \frac{\alpha m}{L^2 c^2} (E + \alpha m u)$$ Вы можете проверить, что это уравнение может быть записано таким образом $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + q^2 u = \frac{q^2}{p}$$ где $$q = \sqrt{1-\frac{\alpha^2 m^2}{L^2 c^2}}$$ и $$p = \frac{L^2 c^2 - \alpha^2 m^2 }{\alpha m E}$$ Затем с заменой $w = u - \frac{1}{p}$получаем (заметим, что $\frac{d^2 u}{d \theta^2} = \frac{d^2 w}{d \theta^2}$потому что $p$постоянно) $$\frac{d^2 w}{d \theta^2} + q^2 w = 0$$

ШАГ 5: форма орбиты

Запишем таким образом решение полученного нами ДУ

$$w = A \cos \left[ q (\theta - B) \right]$$ где $A$и $B$являются произвольными константами. Выполнение обратных замен, которые мы сделали ( $u=w+\frac{1}{p}$и $r=\frac{1}{u}$) мы получаем $$r = \frac{p}{1+e \cos \left[ q (\theta - B) \right]}$$ куда мы звонили $e$в $Ap$постоянный. Наложение начального условия фигуры ( $\mathbf{r}_0 = r_0 \hat{\mathbf{x}}$и $\mathbf{v}_0 = v_0 \hat{\mathbf{y}}$), подразумевает, что при $t=0$( $\Rightarrow$начало $\theta = 0$) у нас есть $\frac{dr}{d\theta} = 0$(мы можем просто положить $B=0$) и $r=r_0$(так $e=\frac{p}{r_0}-1$) $$r (\theta) = r_0 \frac{ \frac{p}{r_0} }{1 + \left( \frac{p}{r_0} -1 \right) \cos (q \theta)}$$ куда (подключить $p$и $q$к начальному значению, мы использовали тот факт, что при $t=0$угловой момент $L=\gamma_0 m r_0 v_0$, а энергия $E = \gamma_0 mc^2 - \frac{\alpha m}{r_0}$: нам нужно только заменить эти константы $E$и $L$в $q$и $p$ранее написано) $$q = \sqrt{1-\frac{\alpha^2 (c^2 - v_0^2)}{c^4 r_0^2 v_0^2}}$$ и $$p = \frac{ \frac{r_0^2 v_0^2 c^4}{c^2 - v_0^2} - \alpha^2 }{ \alpha \left( \frac{c^3}{\sqrt{c^2 - v_0^2}} - \frac{\alpha}{r_0} \right) }$$

Если$c \to \infty$мы получаем$q \to 1$и$p \to \frac{r_0^2 v_0^2}{\alpha}$: мы имеем классическую эллиптическую орбиту, как и должно быть.

В обычных ситуациях релятивистский эффект очень мал, но мы можем графически увидеть, что это розеттная орбита, искусственно изменив$c$ценность для$2 v_0$. В случае Меркурия (в единицах СИ будем считать$|\mathbf r_0| = 4{,}6 \cdot 10^{10}$и$|\mathbf v_0| = 5{,}9 \cdot 10^{4}$) получаем орбиту на рисунке (я остановил орбиту после 21$\pi$радианы, единица в осях$10^6$км)

ШАГ 6: оценка прецессии

Наблюдение$r (\theta)$мы видим, что расстояние минимально, когда$\cos (q \theta) = 1$, т.е.$\theta$является

$$\theta_k = \frac{2\pi}{q} k \qquad \qquad k \in \mathbb{Z}$$ Между минимумом и следующим минимумом $\theta$изменение $\theta_{k+1} - \theta_k = \frac{2\pi}{q}$. Вычитание $2\pi$получаем угловое расстояние между двумя минимумами: $\Delta \theta = 2 \pi (q^{-1}-1)$. Замена $q$мы нашли $$\Delta \theta = 2 \pi \left[ \left(1-\frac{\alpha^2 (c^2 - v_0^2)}{c^4 r_0^2 v_0^2} \right)^{-\frac{1}{2}} - 1 \right]$$ Но если $\epsilon \ll 1$работает $(1-\epsilon)^{-\frac{1}{2}} \approx 1+ \frac{\epsilon}{2}$, так что если $\frac{\alpha^2}{c^2 r_0^2} \ll v_0^2 \ll c^2$мы можем использовать эту более простую и восхитительную формулу $$\Delta \theta = \frac{K}{(v_0 r_0)^2} \qquad \qquad \left( K=\frac{\pi G^2 M_\odot^2}{c^2} \approx 6{,}160 \cdot 10^{23} \, \textrm{m}^4 / \textrm{s}^{2} \right)$$ Для Меркурия эта формула применима и дает около $0{,}017''$/революция. Оборот Меркурия длится 88 дней, так что это примерно $7''$/в. Я исследовал случай, когда гравитационная масса планеты, находящейся на орбите, растет с $\gamma$фактор, это было проявление силы, но я решил численно, обнаружив, что, по крайней мере, для почти круговой и слаборелятивистской орбиты, $\Delta \theta$просто удваивается (1/3 наблюдаемого угла). Интригующий, но все же мы далеки от истины $43''$/в.

Я думаю, что это прецессия Томаса , представляющая собой кинематический эффект, который зависит от формы мировой линии и не зависит от природы силы.

Википедия дает низкоскоростное приближение для прецессии Томаса$ω_T=av/2c^2$. Для круговой орбиты радиусом$r$и скорость$v$, прецессия на орбиту равна

$$Δθ = (2πr/v)ω_T = πra/c^2 = πv^2/c^2$$

что согласуется с формулой низкой скорости и низкого эксцентриситета в ответе Фаусто Веццаро ​​(с использованием$v^2/r=GM/r^2$).

В этом препринте прецессия Томаса составляет 7,163″/год в результате более тщательного расчета, учитывающего эксцентриситет. Там также говорится, что это проблема общей теории относительности, что неверно (расчеты в ОТО автоматически включают «эффекты» СТО), но я полагаю, что, несмотря на это, специальные релятивистские расчеты верны.

Этот препринт , упомянутый в комментарии Pulsar, выводит аналогичный результат без упоминания прецессии Томаса, а затем результат в два раза больший (14,3″/год, одна треть предсказания ОТО) из якобы более тщательного уход.