Почему более крупные черные дыры излучают меньше излучения Хокинга, чем более мелкие черные дыры?

Ньютоновское гравитационное ускорение для объекта массы$M$определяется известным выражением:

$$a = \frac{GM}{r^2} \tag{1}$$

А радиус горизонта событий черной дыры определяется как:

$$r_s = \frac{2GM}{c^2} \tag{2}$$

Предположим, мы вычисляем ньютоновское гравитационное ускорение на горизонте событий. Давайте пока не будем беспокоиться о том, насколько это физически реалистично, мы просто продолжим и сделаем это в любом случае. Если мы переформулируем уравнение (2), чтобы получить:

$$GM = \frac{c^2r_s}{2}$$

тогда мы можем заменить$GM$в уравнении (1), чтобы получить:

$$a(r_s) = \frac{c^2}{2r_s} \tag{3}$$

И мы обнаруживаем, что гравитационное ускорение на горизонте событий пропорционально$1/r_s$таким образом, черные дыры меньшего размера имеют более высокое поверхностное ускорение, чем черные дыры большего размера. Температура излучения Хокинга связана с этим поверхностным ускорением. что имеет интуитивный смысл. Если гравитационное поле сильнее, вы ожидаете, что излучение Хокинга будет сильнее. И это значит:

Меньшие черные дыры горячее больших черных дыр

Чтобы сделать это строго, требуется значительная работа, поэтому я не буду вдаваться в подробности. Мы определяем свойство, называемое поверхностной гравитацией ,$\kappa$, то есть фактически гравитационное ускорение на горизонте событий, и мы находим, что для статической черной дыры это определяется выражением:

$$\kappa = \frac{1}{2r_s} \tag{4}$$

Это правильная общерелятивистская версия ньютоновской поверхностной гравитации I, полученная в уравнении (3). Тогда температура Хокинга просто:

$$T_H = \frac{\hbar c}{2\pi k_B} \kappa$$

Таким образом, как и в нашем приближенном расчете, мы находим, что температура пропорциональна$1/r_s$т.е. меньшие черные дыры более горячие, чем большие черные дыры.

Вот ответ, больше основанный на термодинамике. Все сводится к следующему: энтропия черной дыры пропорциональна площади ее поверхности, а ее масса = энергия радиусу.

Вы можете думать об этом следующим образом: все состояния внутри черной дыры одинаковы для наблюдателей снаружи. Информация о внутренней части закодирована на поверхности, потому что вы можете решать краевые задачи. Таким образом, чем больше поверхность, тем больше энтропия. Это далеко не доказательство, но вы можете сделать это строгим.

Итак, что такое теплота и температура? Теплота – это самопроизвольная передача энергии без совершения работы. Второй закон термодинамики гласит, что энтропия никогда не может уменьшаться. Поскольку энергия сохраняется, для двух систем, находящихся в равновесии,

$$\frac{\Delta S_1}{\Delta U} = \frac{\Delta S_2}{\Delta U}$$ то есть изменение энтропии $S_1$системы 1 за счет изменения ее энергии на $\Delta U$равно изменению энтропии $S_2$системы 2 за счет изменения ее энергии на ту же величину. Следовательно, мы определяем $$\beta = \frac{\partial S}{\partial U}$$ и вы можете понять, что $\beta = 1/T$где $T$это температура . (Тепло поступает от низкого $\beta$слишком высоко $\beta$, но с высоты $T$низко $T$.)

Из общей теории относительности имеем, что масса$M$и радиус$r$черной дыры пропорциональны,$r = 2GM/c^2$. Если принять энергию за$U = E = Mc^2$, затем$U \propto r$, так$S \propto U^{2}$который дает$\beta \propto U$или$T \propto 1/r \propto 1/M$. Таким образом, меньшая черная дыра горячее и, следовательно, излучает больше.

Если мы инвертируем соотношение между энтропией и энергией, мы получим$U \propto \sqrt S$. Сюжет$\sqrt S$. Это очень круто для маленьких$S$, и довольно плоский для больших$S$. Это означает, что для маленьких черных дыр излучение Хокинга должно иметь лишь небольшую энтропию, даже если интенсивность велика, чтобы процесс допускался термодинамикой.

Вы можете узнать больше из этих выступлений самого Хокинга. Хокинг использует некоторые технические концепции, но я надеюсь, что они достаточно доступны. (Они, по крайней мере, намного больше, чем оригинальные документы.)

как получается, что излучение Хокинга вообще может выходить из черных дыр, когда видимый свет (который, как я знаю, является другой формой излучения) не может?

Ну, для начала, знаете ли вы, что такое излучение черного тела?

Проще говоря, черное тело — это тело, которое поглощает весь свет, которому оно подвергается, и когда такое тело достигает определенной температуры$T$будет продолжать излучать излучение где-то в электромагнитном спектре.

Теперь, в классическом понимании, черная дыра обязательно поглотит весь свет, которому она подвергается. Однако не обязательно ли он достигает температуры, при которой он может испускать излучение? Итак, можем ли мы на самом деле классифицировать черную дыру как черное тело?

Ну, излучение черного тела — это квантовый эффект. Спасибо Планку и его знаменитой постоянной. Далее рассмотрим квантовые флуктуации и неопределенность, связанную с квантовой механикой, которая подробно обсуждается здесь .

Квантовые флуктуации отрицательной энергии, связанные с квантовым электромагнитным полем, безвредны и часто исчезают так же быстро, как и появляются. Однако, если кто-то окажется перед горизонтом событий черной дыры, он может пересечь его. Оказавшись за горизонтом событий, фотон может иметь отрицательную кинетическую энергию (в качестве примечания, это может привести к запрещенной области и учесть возможность квантового туннелирования, которое обсуждается у Маулика К. Париха и Фрэнка Вилчека ) . Связанный фотон с положительной энергией остается за пределами горизонта, который будет продолжать двигаться наружу.

Если черные дыры, по сути, всасывают массу и преобразуют ее в излучение Хокинга, почему более массивная черная дыра не излучает больше излучения Хокинга?

Важно отметить, что на самом деле ничего не проходит из-за горизонта и из-за того, что фотон с отрицательной энергией вносит отрицательный вклад в массу черной дыры. Этот вклад и есть излучение Хокинга.

Теперь, если вы согласитесь с тем, что черные дыры излучают вместе с положительным фотонным партнером, тогда ответ на ваш следующий вопрос будет таким же, просто применив некоторую термодинамику к физике черных дыр.

Формула светимости излучения черной дыры обратно пропорциональна квадрату массы черной дыры и, следовательно, будет уменьшаться по мере увеличения массы. Некоторые ссылки на формулы даны здесь и здесь .