Влияет ли масса вращающегося тела на орбитальную скорость? [дубликат]

Влияет ли масса вращающегося тела на орбитальную скорость?

tl;dr: Да, это всегда так, примерно вдвое меньше. Если она маленькая, например, одна миллионная массы первичного элемента, изменение скорости составит, например, половину одной миллионной. В крайнем случае, когда две массы равны, хотя тренд нарушается, и скорость теперь составляет 70,7% ($\sqrt{1/2}$), а не половину.

Если вы уберете Луну и поместите туда небольшой камень, он будет вращаться на 0,6% быстрее, чем Луна. Юпитер составляет около 1/1000 Солнца или 0,1% массы. Если убрать Юпитер и поместить туда маленькую планету, она будет вращаться на 0,05% быстрее, чем Юпитер!

---

Проблема двух тел из Википедии и Круговая орбита полезны, но я обнаружил, что страница 15 cnx.org. Система двух тел - круговое движение имеет особенно прямое решение круговой задачи двух тел.

Лицензия Commons Attribution 4.0.

Использовать

$$r = r_1 + r_2$$

$$m_1 r_1 = m_2 r_2$$

$$\frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2}$$

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \ \ \text{ orbital angular speed}$$

$$M = m_1 + m_2$$

$$m_2 = M\frac{r_1}{r_1 + r_2}$$

...потом немного математики и физики...

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} = sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}$$

Орбитальная скорость каждого тела будет просто угловой скоростью$omega$умножить на радиус каждого тела:

$$v_1 = \omega r_1$$

$$v_2 = \omega r_2$$

$$r2 = r \frac{m_1}{M}$$

$$v_2 = \omega r_2 = \omega r \frac{m_1}{M} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} r \frac{m_1}{M}$$

Можно показать, что если$m_1$(т.е. масса Земли) постоянна, и расстояние между двумя$r$постоянна, то изменение скорости в два раза меньше, чем отношение масс, пока оно все еще довольно мало.

Например, если масса маленького объекта составляет одну миллионную массы большого объекта, то изменение скорости (по сравнению с безмассовым маленьким объектом) составляет половину одной миллионной .

Для Луны мы сказали$m_2 = m_1 / 81$, затем

$v_2$= 0,9939$r_2$= 0,9878$\omega$= 1,0062 и$\omega r_2$= 0,9939

Луна, имеющая 1,23% массы Земли, будет двигаться на 0,61% медленнее, чем крошечный спутник.

Эта тенденция «половина разницы» нарушается, когда две массы становятся ближе к равным.

Если бы второй объект был такой же массы, как Земля, эта тенденция говорит, что скорость была бы вдвое меньше, чем у крошечного спутника, но оказывается, что скорость$\sqrt{1/2}$или 70,7%, а не 50%.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m1 = 1.0

m2 = np.logspace(-10, 0, 101)

M = m1 + m2

r = 1.0
G = 1

omega = np.sqrt(G * M / r**3)
r2  = r * m1 / M
v2 = omega * r2

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(m2, v2)
plt.xscale('log')
plt.ylim(None, 1.02)
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(m2, 1 - v2)
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('m2 with m1 = 1')
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.suptitle('G = r = m1 = 1')
plt.show()