В чем именно разница между производной и полной производной?

Ключевое отличие состоит в том, что, когда вы берете частную производную , вы действуете, исходя из своего рода предположения, что вы удерживаете одну переменную фиксированной, в то время как другая изменяется. При вычислении полной производной вы позволяете изменениям одной переменной влиять на другую.

Так, например, если у вас есть$f(x,y) = 2x+3y$, то при вычислении частной производной$\frac{\partial f}{\partial x}$, вы временно предполагаете$y$постоянным и относиться к нему как к таковому, что дает$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + \frac{\partial (3y)}{\partial x} = 2 + 0 = 2$.

Однако, если$x=x(r,\theta)$и$y=y(r,\theta)$, то предположение, что$y$остается постоянным, когда$x$изменения больше недействительны. С$x = x(r,\theta)$, то если$x$изменения, это означает, что по крайней мере один из$r$или$\theta$изменять. И если$r$или$\theta$изменить, то$y$изменения. И если$y$изменяется, то, очевидно, это каким-то образом влияет на производную, и мы уже не можем считать ее равной нулю.

В вашем примере вам дано$f(x,y) = x^2+y^2$, но на самом деле у вас есть следующее:

$f(x,y) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$.

Итак, если вы вычислите$\frac{\partial f}{\partial x}$, вы не можете предположить, что изменение$x$вычисленное в этой производной, не влияет на изменение$y$.

Вместо этого вам нужно вычислить$\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta}$и$\frac{\rm{d} f}{\rm{d} r}$, первое из которых может быть вычислено как:

$\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta} = \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\rm{d} x}{\rm{d} \theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\rm{d} y}{\rm{d} \theta}$

Я знаю, что этот ответ невероятно запоздал; но просто резюмирую последний пост:

Если бы я дал вам функцию

$$f(x,y) = \sin(x)+3y^2$$

и попросил у вас частную производную по$x$, вы должны написать:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \cos(x)+0$$

с$y$фактически константа относительно$x$. Другими словами, подставляя значение для$y$не влияет на$x$. Однако, если я попрошу вас указать полную производную по$x$, вы должны написать:

$$\frac{df(x,y)}{dx}=\cos(x)\cdot {dx\over dx} + 6y\cdot {dy\over dx}$$

Конечно, я использовал цепное правило в нижнем регистре. Вы бы не написали$dx\over dx$на практике, так как это просто$1$, но нужно понимать, что он есть :)

Все ли согласны с тем, что плакат пришел к правильному ответу?

Люди пишут

$$\frac{\partial}{\partial t}g(x(t),t)$$ или $$\frac{\text{d}}{\text{d} t}g(x(t),t)$$

Первое обычно используется для обозначения «производной функции$g$относительно второго аргумента». Второй обычно означает «полную производную». Существуют вариации этого. Некоторые люди опускают аргументы и просто пишут, например,$\frac{\partial}{\partial t}g$

Так например: если$x$является тайной функцией$t$, то обозначение$\frac{d}{dt}f(x,t)$называется полной производной и является аббревиатурой (производной с одной переменной)$g′(t)$где$g(t)=f(x(t),t)$. При применении цепного правила к последнему выражению вам понадобится какой-то способ обозначить «производную f по ее первому аргументу», как многие люди написали бы$\frac{\partial}{\partial x}f$для этого, но во многих случаях это сбивает с толку, как я объясню в примере ниже.

Широко распространенная здесь математическая нотация многих смущает, и я думаю, что в ней нет необходимости. Если вы хотите получить полную производную, явно постройте функцию (например,$g$выше) и возьмем производную с одной переменной. В противном случае объяснение разницы между полными и частными производными потребует от вас таких обращений, как временная фиксация переменных, утверждение, что переменная фактически постоянна, или переключение между размышлениями о$x$как функция и как выражение. Все это нечеткие вещи, которые вы можете успешно делать, когда уже чувствуете себя комфортно в том, что происходит. Но в противном случае стоит хорошенько подумать о том, что происходит на самом деле.

Ваш пример

Проблема возникает из-за объединения выражения и функции. Вы сделали это, когда писали$w = f(x,y) = x^2 + y^2$. В таком случае многие напишут

$\frac{\partial}{\partial x}w$и

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$

(которые эквивалентны). В этом есть смысл. В обоих случаях справа от дифференциального оператора стоит выражение, содержащее$x$и$y$. То, что получается в результате применения этого оператора, также является выражением в тех же переменных. Это относится и к тому, что$\frac{d}{dx}$означает. Для конкретных выражений выше я бы просто использовал это.

Фактическая цель частной производной состоит в том, чтобы брать производные функций по одному из ее аргументов, а не по выражениям. Это не то, что происходит выше. Вот что происходит, когда люди пишут:

$\frac{\partial}{\partial x} f$.

$f$не является выражением. Это функция. Мне лично эта запись не нравится. Вы могли бы определить идентичный$f$написав$f(a,b) = a^2 + b^2$. Переменные, фигурирующие в определении функции, строго говоря, невидимы для остального мира. Это просто удобный способ заявить "$f$это функция, которая принимает два аргумента. Он возводит в квадрат первое, возводит в квадрат второе и возвращает сумму квадратов». Вместо того, чтобы выписывать это предложение (что люди должны были делать до изобретения лучшей записи), вы можете вместо этого дать имена аргументам$f$так что вы можете легко ссылаться на них при определении$f$.

Но когда вы пишете$\frac{\partial}{\partial x} f$, то вы используете некоторые знания о том, как вы определили$f$--- что вы выбрали имя$x$для первого аргумента. Может быть полезно иметь имена для аргументов функции, а не просто ссылаться на их позицию (первый, второй и т. д. аргумент), поэтому частичная нотация сохранилась, но я думаю, что для этого нотация должна быть улучшена.

Что обычно имеют в виду, когда пишут$\frac{\partial}{\partial x} f$примерно "функция, которая принимает два аргумента и возвращает чувствительность$f$относительно его первого аргумента». Поэтому, если вы в какой-то момент$(a,b)$или$(x,y)$или что-то еще, и вы покачиваете первый аргумент$a$или$x$, сколько стоит выход$f$покачиваться? Это вопрос, на который должен ответить градиент функции. Вероятно, это то, что кто-то имеет в виду, когда говорит «нормальная производная». Они думают только об одной функции, возможно, с несколькими аргументами. И они пытаются сделать объект, который говорит вам, насколько чувствителен вывод функции к изменению каждого из входов.

Полная производная обычно означает, что где-то вы неявно определили какие-то новые функции . В этом случае вы сделали функции$x(r,\theta) = r \sin(\theta)$и$y(r,\theta) = r \cos(\theta)$, и вы можете скомпоновать эти функции, сделав новую функцию:

$$g(r,\theta) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$$

Заметьте еще раз, что$r$и$\theta$выбираются только для того, чтобы дать человеку информацию о значении этой функции. Если бы мы обрабатывали вещи чисто символически, то определение$g$так же могло быть

$$g(input_1,input_2) = f(x(input_1,input_2),y(input_1,input_2))$$

И поэтому, когда проблема попросила вас найти$\frac{\partial}{\partial r} w$, есть два, в конце концов, идентичных толкования того, что это значит. Либо построить функцию$g$как я сделал выше, и сообщить о его чувствительности по отношению к первому аргументу. ИЛИ подставьте выражения вместо$x$и$y$в выражение для$w$. Теперь у вас есть выражение для$w$с точки зрения$r$и$\theta$. Я предпочитаю подход, который думает о функциях. Вот как мы организуем код, и я думаю, что именно так мы должны организовать математику. Когда вы имеете дело с выражениями, у вас фактически есть тонна глобальных переменных.

Итак, как мы вычисляем$\partial_1 g$, что является просто обозначением для «создать функцию с той же арностью (количество входов), что и$g$, так что он вычисляет производную функции$g$относительно его первого аргумента"? Это просто цепное правило.

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

Мы можем понять, почему думать о вещах таким образом не популярно! Но это самый ясный, самый механический способ думать об этом. В противном случае вы полагаетесь на неявный каламбур$x$как функция и как выражение. Выберите один и придерживайтесь его!

В любом случае, чтобы упростить приведенное выше определение, которое не заботилось об определениях$f$,$x$, или$y$, нам нужно использовать определения.

$f(x,y) = x^2 + y^2$и поэтому

• $[\partial_1 f](x,y) = 2x$
• $[\partial_2 f](x,y) = 2y$

$x(r,\theta) = r\sin(\theta)$и поэтому

• $[\partial_1 x](r,\theta) = \sin(\theta)$

так же

• $[\partial_1 y](r,\theta) = \cos(\theta)$

КРОМЕ ТОГО, хотя в данный момент он нам не нужен

• $[\partial_2 x](r,\theta) = r\cdot \cos(\theta)$
• $[\partial_2 y](r,\theta) = -r\cdot \sin(\theta)$

Итак, еще раз, функция

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

подставляя функции, которые мы только что вычислили:

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2x(r,\theta) \cdot \sin(\theta) + 2y(r,\theta) \cdot \cos(\theta)$$

и подставляя$x$и$y$

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r\sin(\theta) \cdot \sin(\theta) + 2r\cos(\theta) \cdot \cos(\theta)$$

который, после использования той самой триггерной идентичности, которую вы использовали,

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r$$

Еще один способ сделать то же самое:

Когда вы видите обозначение$g'(x)$, вы можете сгруппировать это как$[g'](x)$. Вы создали новую функцию, названную "g prime", которая является производной от$g$, и вы оцениваете его в точке$x$.$g'(y)$означает то же самое, за исключением того, что вы оцениваете в точке$y$. Многомерный аналог этого$\nabla g(\mathbf{x})$. Вы должны разобрать это как$[\nabla g](\mathbf{x})$.

Это не относится к обозначению$\frac{d}{dx} g(x)$. Если вы разберете это как$[\frac{d}{dx} g](x)$, вы запутались, потому что что делает$x$значит в скобках? Вам не нужно придавать этому значение, потому что оно должно быть бессмысленным. Оператор$\frac{d}{dx}$применяется к выражению , а не к функции.

Но что люди обычно делают, так это определяют

$g(x)= x^2+sin(x)+\text{whatever expression in }x$

а потом напиши$\frac{d}{dx} g(y)$когда они действительно должны были написать$g'(y)$. Они не делают этого очень часто в случае с одной переменной, но делают это в случае с несколькими переменными. Я просто показал случай с одной переменной, потому что с ним понятнее проблема.

Мое вдохновение для этого ответа исходит от http://groups.csail.mit.edu/mac/users/gjs/6946/sicm-html/book-ZH-78.html#%_sec_Temp_453 )

Я считаю, что некоторые ответы (и комментарии) выше немного сбивают с толку. Я хочу затронуть некоторые из поднятых вопросов. Первоначальный вопрос ОП состоял в том, чтобы найти полную производную$\frac{dw}{dr}$для функции:

$$w=f(x,y)= x^2 + y^2,~~ x=r \sin \theta ,~~y = r \cos \theta$$ при условии, что $r, \theta$являются независимыми переменными.

На первый взгляд это находит$\frac{dw}{dr}$невозможно, если$r, \theta$независимы друг от друга.

Правда, что

$$\frac{\partial w}{\partial r }= 2r$$ Доказательство: $$\frac{\partial w}{\partial r } = \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x }{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial r}$$ Подключение $$\frac{\partial w}{\partial r } = 2x~ ( \sin \theta ) + 2y ( \cos \theta )$$ Замена с использованием данного $x$и $y$уравнения $$\frac{\partial w}{\partial r } = 2( r \sin \theta ) ~ ( \sin \theta ) + 2( r \cos \theta ) ( \cos \theta ) = 2r ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta ) = 2r$$

Мы можем ослабить предположение, что$r$и$\theta$независимы друг от друга, чтобы найти$\frac{dw}{dr}$. Вычисления немного сложнее. Нам пришлось бы временно предположить, что$\theta$является функцией$r$.

$$\frac{dw}{dr} =\frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x}{\partial r } \frac{dr}{dr }+ \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x}{\partial \theta }\frac{d\theta }{ dr }+\frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y}{\partial r } \frac{dr}{dr }+ \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{d\theta }{ dr }$$ Это правда, что ранняя замена дает нам $$w= ( r \sin \theta) ^2 + ( r \cos \theta)^2 = r^2$$ Но было бы заблуждением утверждать, что $$\frac{dw}{dr}= 2r$$ с $$w = f( r, \theta)$$ Аналогичный сценарий возникает, когда нам нужен наклон в точке на поверхности $$z=f(x,y) = x^2$$ Мы все равно будем использовать частную производную, даже если у нас есть $$\frac{\partial z}{\partial x } = \frac{dz}{dx} = 2x$$ Мы можем быть более явными и определить $$z=f(x,y) = x^2 + 0y$$

Может быть проще представить фигуру с ортогональными координатами x и y для основания и функциональным результатом (т. е. некоторой функцией w от двух переменных x и y), нанесенным на график в виде поверхности на вертикальной оси z. Если мы посмотрим на результат изменения функции, которую мы получаем, когда мы сохраняем y постоянным и позволяем x варьироваться, это будет касательная к поверхности среза, проведенная через эту поверхность параллельно оси x. Конечно, вы получите эквивалентную картину, если позволите варьировать y, но сохраните x постоянным. Теперь представьте изменение функции, но мы допускаем одновременное изменение x и y, дельта w — это изменение w, и в основном мы суммируем изменения функции, чтобы получить дельту w, del w = f(x + delx, y + del y) - f(x,y), если мы разложим del w и дойдем до предела, который мы получим для dw = частная производная по x, умноженная на dx, плюс частная производная по y, умноженная на dy.

Это классический пример основных концепций, и вы можете найти его здесь:

https://www.math.uwaterloo.ca/~ahamadeh/math217_p2.pdf

В качестве хорошего иллюстративного примера мне нравится скорость изменения объема расширяющегося цилиндра, V определяется как V = (PI) (r ^ 2) (h), r = радиус h = высота, теперь используйте предыдущее выражение идеи для дельта w, но здесь его дельта V, разделите обе части на дельту t, а затем пусть дельта t станет равной нулю.

Это становится немного сложнее, когда мы используем методологию для нахождения дифференциальных коэффициентов неявных функций, но мы используем аналогичные методы. Примеры из учебников часто позволяют z обозначать функцию x и y, тогда вы просто формируете дельту z (как «нормальную»), делите обе части на дельту x и позволяете дельте x равняться нулю, получая выражение для dz / dx. Часто вам дают информацию о z, может быть z = 0 (константа), поэтому dz/dx = 0.

Если вы добавите к этим идеям идею изменения переменной, что на самом деле немного больше того же самого, например, скажем, что z является функцией x и yz = f(x,y), а x и y, в свою очередь, являются функциями двух другие переменные u и v , то z является функцией u и v, поэтому вы формируете дельту z как «нормальную» с точки зрения частичной разницы z относительно x, умноженной на дельту x, плюс частичная разница y, умноженная на дельту y, разделите обе части на дельту u и пусть дельта u достигла нуля, v пока сохраняется постоянным. Это дает вам частный дифференциал z относительно u, и вы следуете той же процедуре, чтобы получить выражение для частного дифференциала z относительно v.

С ними у вас есть большинство основных инструментов для решения таких проблем, и я полагаю, что основной ответ на ваш вопрос заключается в том, что у вас есть неявная функция, поэтому, когда вы хотите изменить функцию при изменении x, вы должны добавить немного "лишнего". Концепция появляется в нескольких местах, может быть, ваша функция описывает температуру элемента объема, его охлаждение со временем, но он также движется, и пространственные координаты приближают его к источнику тепла, поэтому вам нужно добавить два эффекта. Поэтому, если вы не будете осторожны, вы упустите этот «дополнительный» пространственный термин и получите только «чистый» временной термин.

Приносим извинения за многословность этого ответа, но, возможно, было передано только полуразумное представление о том, что происходит (на время я могу представить, что вся функциональная поверхность меняет форму со временем в 3D, возможно, у нас могут быть только моментальные снимки во времени. ).

Частная производная — это производная функции с несколькими независимыми переменными по любой из них при неизменности остальных.

Символы$\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}$используются для обозначения таких различий.

И выражения$\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}$называются частными дифференциальными коэффициентами$u$в отношении$x$и$y$.

Так что если$u=f(x,y)$, затем$\dfrac{\partial u}{\partial x}$можно вычислить, дифференцируя$u$в отношении$x,$сохранение$y$постоянный.

Хотя в случае общей производной мы не предполагаем, что другие переменные являются постоянными , их изменение по отношению к изменению этой переменной также принимается во внимание.

Так что если$u=f(x,y)$, где$x=\phi_1(t)$, и$y=\phi_2 (t)$, можно рассчитать как:

$\dfrac{du}{dt} =$ $\dfrac{\partial u}{\partial x}.$ $\dfrac{dx}{dt}$+$\dfrac{\partial u}{\partial y}.$ $\dfrac{dy}{dt}$

Так что если$x$и$y$оба зависят от$t$, затем измените в$x$приведет к изменению в$t$что, в свою очередь, приведет к изменению$x$(с$y$также является функцией$t$), отсюда и упомянутая выше формула.

В вашем вопросе, так как$x$и$y$оба зависят от$\theta$(Предполагая$r$является константой), поэтому для того, чтобы найти полную производную от$f(x,y)$в отношении$\theta$, кроме частных производных от$u$в отношении$x$и$y$вам нужно будет рассмотреть вопрос об изменении$x$а также изменение в$y$в отношении$\theta$.

Подводя итог всему:

Полная производная — это мера изменения всех переменных, а частная производная — это мера изменения конкретной переменной при неизменности других.

Надеюсь это поможет!

Изменить: вот что придумал другой пользователь:

$f(x,y) = e^{xy}$

Полная производная с цепным правилом дает:

$\dfrac{df(x,y)}{dx} = \dfrac{de^{xy}} {dx} + \dfrac{de^{xy}}{dy} \dfrac{dy}{dx} = ye^{xy} + xe^{xy}$

Частная производная сохраняет y постоянным. Так что второй член исчезнет.

$\dfrac{\partial f(x,y)}{ \partial x} = \dfrac{\partial e^{xy}} {\partial x} + \dfrac{\partial e^{xy}}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial x} = ye^{xy}$(С$\dfrac{\partial y}{\partial x} = 0$)

Есть два подхода к этой проблеме

1. Заменять$x$и$y$в$w$и мы получим $$w= ( r \sin \theta) ^2 + ( r \cos \theta)^2 = r^2$$

Тогда полная производная и частная производная от$w$в отношении$r$то же самое

$$\frac{dw}{dr}= \frac{\partial w}{\partial r } = 2r$$

2. Написав цепное правило, мы получим тот же результат.

$$\frac{\partial w}{\partial r } = \frac{\partial w}{\partial x } \frac{\partial x }{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y } \frac{\partial y }{\partial r}$$

Оба метода правильны. Это связано с тем, что в данной конкретной задаче, хотя$x$и$y$являются функциями$r$и$\theta$,$w$является функцией$r$только.

Также тогда,

$$\frac{\partial w}{\partial \theta } = 0$$ Массового обсуждения в этой теме не требовалось.