Закон обратных квадратов и дополнительные пространственные измерения

Вы можете получить это более «интуитивно» (идиосинкразически): поток этой силы в замкнутой поверхности равен количеству источника внутри (это закон Гаусса ). Этот источник может быть массой или зарядом. Физическая картина такова: давление, оказываемое на замкнутую поверхность силой поля, пропорционально количеству источника внутри.

Вы можете получить силовое поле, создаваемое точечным источником , с подходящим выбором поверхности (сфера, концентрическая с источником). Тогда для любого измерения вы можете видеть, что ваше поле подчиняется$\frac{1}{r^{d-1}}$так как площадь этой поверхности ($d$-сфера,$S_2$) расти с$r^{d-1}$(для$d>2$).

Да, существует более «строгий» (стандартный) вывод. На самом деле нам нужно сначала проверить, что этот закон подразумевает потенциал, который подчиняется уравнению Лапласа :$\nabla^2 V(x)=0$. Любой точечный источник этой силы создаст потенциал, который является функцией Грина от$\nabla^2$для подходящего граничного условия ($V=0$в$\infty$).

Для трех измерений функция Грина имеет вид$\frac{1}{r}$, это подразумевает$\frac{1}{r^2}$для силы. Для$d>2$, функция Грина$\frac{1}{r^{d-2}}$и подразумевают силу, которая$\frac{1}{r^{d-1}}$. Для$d=2$является логарифмом и для$d=1$является линейным с$r$.