Дифракция на маленьких дырках

Оказывается, есть довольно подробный анализ этого в Джексоне, Классическая электродинамика, разделы 3.13, 5.13 и 9.5. Хотя Джексон делает это с мельчайшими подробностями, используя функции Бесселя и бесконечные ряды, на самом деле довольно легко извлечь основные идеи.

Начните с рассмотрения более простой задачи. Тонкий проводящий лист в$x-y$плоскость имеет круглое отверстие радиусом$a$. Предположим, что на больших расстояниях над листом электрическое поле однородно с величиной$E_0$и находится в$z$направлении, но под листом поле равно нулю. Тогда поле ближе к дыре можно разбить на два термина: один для поля, которое у вас было бы, если бы дыры не было, и другой термин, который существует, потому что дыра есть. На достаточно больших расстояниях второй член можно аппроксимировать как электрический диполь$p$, который по симметрии должен находиться в$z$направлении, а по линейности должны быть пропорциональны$E_0$. По размерным соображениям мы должны иметь$p \propto E_0 a^3$. (Безразмерная константа пропорциональности оказывается равной$1/3\pi$, но это не имеет большого значения для моих целей.)

Аналогичный анализ справедлив для магнитного поля в$x$направлении, при этом у отверстия появляется магнитный диполь. (Константа пропорциональности$2/3\pi$.)

Теперь рассмотрим электромагнитную волну с длиной волны$\lambda$спускающийся сверху. Если$\lambda$большой по сравнению с$a$, то приведенные выше электростатические и магнитостатические результаты остаются в силе в любой момент времени. Следовательно, мы имеем дипольное излучение, исходящее из отверстия, с амплитудой, пропорциональной$a^3$и сила$P$пропорциональна$a^6$. Сила$P_0$падение на отверстие пропорционально$a^2$, поэтому доля передаваемой мощности$T=P/P_0$пропорциональна$a^4$. Следовательно, по размерным соображениям мы должны иметь$T\propto (a/\lambda)^4$, где константа пропорциональности безразмерна. Это также имеет смысл, поскольку мощность, излучаемая диполем, пропорциональна$\omega^4$.

Я думаю, довольно просто увидеть, как это отразится на поверхностных волнах на воде. Я ожидал бы узкое отверстие шириной$h$действовать как монопольный источник, излучающий мощность, пропорциональную$\omega^2$. Поэтому передача должна идти как$\lambda^{-2}$, поэтому по размерным соображениям мы должны иметь$T\propto (h/\lambda)^2$.

Все это следует непосредственно из двух очень простых соображений: (1) размерного анализа и (2) пропорциональности амплитуды$\ell$-полярное излучение к$\omega^{2(\ell+1)}$. В принципе Гюйгенса никогда не было необходимости, и фактически он не был бы действителен в четном числе пространственных измерений (что мы имеем в случае волн на воде).

Это все для тонкого листа. Как отмечает CuriousOne в комментарии, когда лист толще, вы можете обращаться с отверстием как с волноводом. Я попытался извлечь основные идеи из этой веб-страницы: http://www.cvel.clemson.edu/emc/tutorials/Shielding02/Practical_Shielding.html Основная идея заключается в том, что волна спадает экспоненциально, с характерной длиной$L \propto a/ \sqrt{1-((2a)/ \lambda)^2}$я приблизился$\lambda_c \approx 2a$как граничная частота, так и зависимость от деталей геометрии (круглое сечение, прямоугольное,...) все это встроено в безразмерную константу пропорциональности, которую я считаю просто величиной$T$ранее обсуждалось в этом ответе. Таким образом, в пределе длинных волн вы в основном получаете экспоненциальное затухание по толщине стенки с характерной длиной порядка$a$.

В пределе длинных волн, когда поле действует как постоянный ток, можно было бы также сравнить все это с ведром Фарадея для льда.

Так как вопрос возник из вопроса о воде даю ответ сначала по волнам на воде.

В щели вы наблюдаете волну на границе двух сред. Когда вы захотите «нырнуть» в дыру, вы увидите связанное движение частиц и сжатие и разжатие этих частиц каждой из волн в этой области. То, что происходит в «глубине», — если не принимать во внимание отражения от земли — это процесс диссипации. Теперь волна ударяется о стену, отражается и приводит на граничной поверхности к стоячей волне. На глубине это никогда не возможно, потому что либо есть отражение от земли, либо рассеяние в направлении к далекой земле. Таким образом, у вас есть почти чистая поперечная волна только на граничной поверхности между двумя средами. На глубине у вас все больше и больше продольных волн. Это причина принципа Хьюгенса о сферических волнах.

Вокруг вашей дыры отраженные компоненты приходящих поперечных и продольных волн рассеивают приходящие волны. Чем меньше отверстие, тем меньше энергии остается. Остается не синусоидальная волна. Так что про резонанс в отверстиях трубки я думаю не может быть и речи. И да, чем длиннее трубка, тем больше взаимодействие со стенкой трубки отнимает энергию от сжатия и декомпрессии среды, и колебания среды быстро исчезают.

Как можно увидеть, что эта часть ответа не имеет ничего общего с ответом в области электромагнитных волн. И я с некоторых пор недоумеваю, как легко Юнг сделал вывод из всегда движущегося (!) узора волн воды в волны природы света от полос на экране. Различий больше, чем общего. Но история заканчивается счастьем, потому что сегодня мы знаем о колебаниях электрического и магнитного полей фотона.

То, на что указал Бете, гораздо важнее выводов Янга. В упомянутой выше работе он писал: «Метод основан на использовании фиктивных магнитных зарядов и токов в дифрагирующем отверстии, что имеет то преимущество, что автоматически удовлетворяет граничным условиям на проводящем экране. Заряды и токи подбираются так, чтобы дают правильное тангенциальное магнитное и нормальное электрическое поля в отверстии». В моем понимании он принимает во внимание взаимодействие между ЭМ излучением и материалом отверстий. То же самое мы должны делать с каждым электромагнитным излучением, а также со светом.

Таким образом, принцип Гюйгенса для электромагнитного излучения устарел или является лишь некоторым приближением. Если фотоны «ударяются» о край или находятся рядом с дырой, у них есть шанс отразиться или ассимилироваться (тогда это вызывает некоторую эмиссию) или - если радиус их действия меньше диаметра дыры, в которую они могут войти. много трудностей, чтобы избежать электрических и магнитных полей отверстия. Одни поля создаются поверхностными электронами, другие индуцируются фотонами. Только действие множества коллимированных фотонов с одинаковой частотой и фазой могло вырваться из трубки и выйти с другой стороны.