С какой скоростью движутся электроны по атомной орбите?

Состояние электрона (или электронов) в атомах не является собственным состоянием оператора скорости (или скорости), поэтому скорость не определяется точно. Однако очень интересно сделать оценку порядка величины скорости электронов в атоме водорода (и она аналогична для других атомов).

Скорость$v$удовлетворяет

$$\frac{mv^2}2\sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}, \qquad mv\sim \frac{\hbar}{r}$$ Первое условие — теорема вириала — кинетическая и потенциальная энергии сравнимы, а второе — принцип неопределенности. Второй вам говорит $r\sim \hbar / mv$который можно заменить на первый (удаление $r$) получить (не будем $1/2$) $$mv^2 \sim \frac{e^2 \cdot mv}{4\pi\epsilon_0\hbar},\qquad v \sim \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} c = \alpha c$$ так $v/c$, скорость в единицах скорости света, равна постоянной тонкой структуры $\alpha$, примерно $1/137.036$. Именно из-за малости этой скорости нерелятивистское приближение к атому Водорода так хорошо (хотя с самого начала предполагалась нерелятивистская кинетическая энергия): релятивистские поправки подавляются более высокими степенями постоянной тонкой структуры!

Можно обсудить, как скорость электронов внутренних оболочек и валентных электронов масштабируется с$Z$и т.д. Но скорость$v\sim \alpha c$по-прежнему будет ключевым фактором в формуле скорости.

Это область квантовой механики, и классические представления о точечных электронах, движущихся с определенной скоростью, на самом деле не применимы в этой области. Так что не существует ни средней скорости, ни минимальной скорости, ни даже максимальной скорости (за исключением скорости света, которая является максимальной скоростью для любой частицы с массой).

Самое близкое к тому, что вы можете прийти к какой-либо концепции скорости электрона на орбите, — это применить соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое утверждает, что

$$\Delta x \Delta p \geqslant \hbar$$ Итак, если вы подставите размер орбитали для $\Delta x$и решить для $\Delta p$у вас будет оценка неопределенности импульса, которую вы затем сможете связать с неопределенностью скорости.

Я думаю, что может быть полезно ответить на этот вопрос, резюмируя, что происходит с внутренними электронами.

Возьмем за отправную точку ядро ​​с зарядом$Z$только с одним связанным электроном. Обратите внимание, для$Z > 1$это не будет нейтральным атомом, но это полезная отправная точка для расчетов. В этом случае из нерелятивистской квантовой теории находим, что среднее значение кинетической энергии электрона в основном состоянии равно

$$\left< {\rm KE} \right> = \frac{1}{2} m (Z \alpha)^2 c^2$$ куда$\alpha = e^2/4\pi \epsilon_0 \hbar c$- постоянная тонкой структуры, численное значение которой составляет около$1/137$. Таким образом, на этом основании мы можем сказать, что среднеквадратическая скорость электрона в основном состоянии такого заряженного атома (иона) равна $$v_{\rm r.m.s.} = Z \alpha c.$$ (Вы также можете думать об этом как о среднеквадратичном импульсе, деленном на массу$m$).

Теперь давайте рассмотрим нейтральные атомы. Приведенный выше расчет дает грубую оценку порядка величины, если мы заменим$Z$по$Z-\sigma_n$куда$\sigma_n$является коэффициентом экранирования, который объясняет тот факт, что электрон в оболочке$n$(т.е. имеющий главное квантовое число$n$) в среднем испытывает не полное электрическое поле ядра, а уменьшенное электрическое поле из-за наличия отрицательного заряда других электронов. Для самой внешней оболочки это$\sigma_n$будет около$Z-g/2$куда$g$- количество электронов на самой внешней оболочке (во многих случаях равно номеру группы). Идея состоит в том, что все электроны в нижних оболочках экранируют ядерный заряд, и каждый из электронов в последней оболочке экранирует его примерно в два раза меньше, чем другие электроны в той же оболочке. Все это лишь грубое утверждение, игнорирующее влияние формы орбиталей. Это приводит к оценке по порядку величины среднеквадратичной скорости самых удаленных электронов:

$$v_{\rm outer} \approx \frac{g \alpha c}{2}$$ Обратите внимание, мы проигнорировали тот факт, что сама волновая функция различна для$n > 1$по сравнению с$n=1$, так что будут дополнительные факторы, связанные с$n$.

Переходя теперь к внутренним оболочкам, можно принять$\sigma_n$примерно число электронов в оболочках равно или меньше того, о котором вы думаете. Для оболочки$n$это число$2 n^2$. Итак, мы получаем

$$v_{\rm inner} \approx (Z - 2 n^2) \alpha c.$$

Таким образом, получается, что для урана ($Z = 92$) скорости для самой внутренней оболочки порядка скорости света. Это делает этот атом полезным испытательным стендом для релятивистской квантовой теории. Более широко, из цезия$(Z = 55)$далее внутренние электроны имеют скорости порядка половины скорости света, а от франция$(Z=87)$около половины электронов имеют скорость выше трети$c$.

Таким образом, в целом быстрые электроны составляют значительную часть атомной физики тяжелых элементов. (А для точных расчетов нужно учитывать релятивистские эффекты в каждом случае, а не только в высоких$Z$атомы).

Это звучит до абсурда просто, но по порядку результатов это хорошо согласуется с онлайн-результатами и другими результатами здесь. Люди склонны думать, что старая добрая ньютоновская динамика бесполезна в атомном масштабе, но она по-прежнему применима, если скорость значительно ниже скорости света.

Просто возьмите электрическую силу между электроном и ядром, преобразуйте ее в ускорение на a = F/m, а затем уравновесьте это ускорение центростремительным ускорением скорости, квадратом по r. То есть v = SQRT(rF/m).

Я знаю, вы могли бы сказать, что это не работает, электрон не похож на спутник в точечном положении, а скорее размазан в электронном облаке вокруг орбитали. Но помните — по определению орбиталь — это путь, на котором каждая точка — это баланс между кинетической и потенциальной энергиями. Таким образом, каждое место на сферической орбите должно быть точкой баланса между центростремительным ускорением и электростатическим притяжением.

где эпсилон-ноль равен 0,00000000000885, а заряд электрона q равен 1,606e-19 кулонов.

Пример водорода: