Почему dy′dyd⁡y′d⁡y\frac{\operatorname dy'}{\operatorname dy} равен нулю, поскольку y′y′y' зависит от yyy?

1. Как математик, когда я вижу

   $$\frac{dy'(t)}{dy}$$ Я думаю, что самое естественное определение $$\frac{d\frac{dy}{dt}}{dy} = \frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dy}$$ что определенно не равно (обычно) нулю.

2. Мы можем представить себе динамическую систему, моделирующую частицу на линии с тремя координатами, моделирующую каждое потенциальное «состояние» частицы, где «состояние» — это ее текущее положение и текущая скорость. Таким образом, переменные называются «v, x и t».

Например, если в момент времени 0 частица находится в 3 метрах к западу от начала координат и движется на восток со скоростью 4 метра в секунду, ее координаты равны$t = 0, v = 3, x = 4$.

В такой системе существуют инварианты частицы, не зависящие от ее местоположения, но зависящие от ее скорости и от того, какое сейчас время. Если мы назовем такой инвариант$L$тогда ясно, что$\frac{\partial L(v, t)}{\partial x} = 0$.

Я предполагаю, что что-то вроде этого (возможно, в более высоком измерении) - это то, к чему относится ваше обозначение.

Вопрос ОП часто задают, когда кто-то пытается изучить лагранжевую механику . По сути, это тот же вопрос, что и этот пост Phys.SE.

Ответ пользователя zyx абсолютно правильный. В лагранжиане$L(x, \dot{x},t)$, три аргумента$x$,$\dot{x}$, и$t$являются независимыми переменными. Менее запутанное обозначение было бы$L(x,v,t)$.

Главное в том, что в данный момент$t_0$, лагранжиан$L(x_0,v_0,t_0)$это функция состояния, которая описывает систему в данный момент, а не в будущем$t>t_0$, ни прошлое$t<t_0$. Лагранжиан$L(x_0,v_0,t_0)$зависит только от мгновенного положения$x_0$, от мгновенной скорости$v_0$, и, возможно, явно в момент$t_0$.

Поскольку соответствующее уравнение Лагранжа является ОДУ 2-го порядка, можно выбрать два независимых начальных условия$x(t_0)=x_0$и$v(t_0)=v_0$. Таким образом, мгновенное положение$x_0$и мгновенная скорость$v_0$независимы друг от друга.

Для получения дополнительной информации и связи с принципом стационарного действия см., например, мой ответ Phys.SE здесь .

В классической механике уравнения движения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, обычно порядка$2$,$x'' = F(x,x')$, где$x$является вектором в$n$размеры.

Здесь$x$и$x'$являются не чем иным, как метками для двух независимых переменных, обе из которых$n$-компонентные векторы. Это просто координаты на$n+n$пространственное пространство, и его можно было бы назвать$a$и$b$. Решения дифференциального уравнения представляют собой пути, параметризованные временем, так что$x = a(t), x'=b(t)$следуйте за векторным полем в этом пространстве, которое настроено для кодирования уравнений движения.

На фазовом пространстве (т.$2n$-мерное пространство, только что описанное), функции$a$и$b$(извини,$x$и$x'$) независимы. Они определяются$a(r,s)=r$и$b(u,g)=g$где обозначение было выбрано извращенно, чтобы подчеркнуть, что это не более чем учет переменных.

На одном пути решения уравнений движения$x$и$x'$, под которым я подразумеваю ограничение функций$a$и$b$к пути (игнорируя их значения на остальной части$2n$-мерное пространство), заведомо не являются независимыми. Путь является одномерным и (в большинстве случаев для коротких интервалов времени) представляет собой типичную функцию движения типа$x$,$x'$, или$x^3 + e^{x'}$, обычно содержит ту же информацию, что и$x$или$x'$или комбинация$(x,x')$. Любые из этих данных могут быть вычислены из любых других.

Векторное поле настроено так, что на пути решения$\large \frac{d}{dt}$применительно к$x(t)$дает$x'(t)$, поэтому метки не были такими произвольными, как представлялось ранее.

Обозначение$\large \frac{dx'}{dx}$, читается как дифференцирование$x'$как функция на фазовом пространстве в$x$направление$0$. Это$n \times n$нулевая матрица, а не число$0$, если$x$имеет более одного компонента.

Обозначение$\large \frac{dx'}{dx}$, читается как вычисление на пути решения, есть$x''(t)/x'(t)$или$n$-мерный аналог с матрицами (который является$1\times 1$матрица, отображающая$ux'(t)$к$ux''(t)$для всех скаляров$u$), а это не$0$.

Заметьте сначала, что$\frac{\partial L(\dot{x},t)}{dx}$это не то же самое, что$\frac{dy'}{dy}$.

Но, ради рассуждения, предположим, что в символическом представлении$L$вы получаете термин вроде$4\dot{x}$или что-то подобное.

Чтобы определить, почему$\frac{d\dot{x}}{dx}$было бы равно нулю, мы должны посмотреть, что такое определение производной.

Чтобы быть прямолинейным, производная не связана с изучением того, «зависит» ли что-то интуитивно от чего-то. Это случайное понятие, используемое для обучения новичков математическому анализу. Скорее, производная совершенно явно определяется как предел разности двух значений функции, когда изменение ее аргумента становится сколь угодно малым, или,$f'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$.

Обратите внимание, что это определение производной в точке , а именно$t$. Это немного другое понятие, чем функциональное представление производной, которое мы также записываем как$f'(t)$. Однако рассматривать производную как функцию имеет смысл только при значениях$t$где существует производная, которая может быть где угодно, или нигде, или в некотором подмножестве области, в которой$f(t)$сам существует.

При этом функциональное представление производной не зависит от$f$, только на$t$. Принимаемые им значения зависят только от области домена, в котором вы ищете.

Другими словами, изменение значения$f$не вызывает каких-либо изменений в производной — она полностью делает ее недействительной.

$\frac{d x^2}{dx}$не незначительное изменение по сравнению с$\frac{d x^3}{dx}$, полученный варьированием функции. Это вообще другая конструкция.

В вашем случае у вас есть функция$L(\dot{x},t)$что явно зависит от$\dot{x}$и$t$. Нет зависимости от$x$себя, поэтому, заставив небольшое изменение значения$x$, мы не меняем значение$L$. Принудительное небольшое изменение в$x$не значит менять$\dot{x}$в этом контексте, потому что в определении производной мы добавляем небольшое значение к независимой переменной. И с тех пор$\frac{d (x+c)}{dt} = \frac{dx}{dt}$, то видим, что изменений нет.$\dot{x}$.

(это редактирование!)

Подумайте об этом таким образом. Выберите две точки$y_1$и$y_2$и скажи мне$y'$в любой из этих двух точек. Очевидный ответ заключается в том, что$y'$может быть чем угодно в любой момент, поэтому мы не можем думать о$y'$как функция$y$(т.е.$y' \neq f(y)$). Чтобы взять производную, вспомним, что две переменные связаны функциональной зависимостью, т. е.$f(y)$принимает определенное значение в каждой точке$y$. Хотя функция$y'$ зависит от$y$как одна кривая к другой, она не зависит от нее в функциональном смысле (т.е. уникальна в определенных точках).