Почему исчисление отсутствует в Принципах Ньютона?

Тут слишком отдельные вопросы. Метод флюксий и текучестей, ньютоновская версия исчисления, широко представлен в сохранившихся статьях Ньютона, начиная с 1669 г. «Об анализе уравнениями с бесконечным числом терминов» , отправленного в виде письма Джону Коллинзу и распространенного им среди нескольких корреспондентов, в том числе Лейбниц. Точечная стенография была изобретена только в 1691 году, после публикации Principia (1687), а Ньютон опубликовал свой отчет об исчислении в 1693 году. До этого его методы были в основном известны в Европе из писем, отправленных через Коллинза и Ольденбург.

Что касается того, почему он не использовал исчисление в Principia, ответ неоднозначен. Во-первых, неясно, могло ли исчисление в его исходной громоздкой форме внести большую ясность или более короткие доказательства. Вместо этого трудность понимания новой механики может усугубляться трудностью понимания новой математики. Есть также свидетельства того, что Ньютон разработал Principia в той самой форме, в которой они были написаны, евклидовой, а не перевел их обратно из исчисления, как он позже утверждал. Уайтсайд дает поучительную дискуссию.

Хотя этот вопрос и ответы теперь устарели, я полагаю, что важно не упускать из виду мифический характер предположения, лежащего в основе этого вопроса. Вопрос явно предполагает, что «исчисление отсутствует в Principia ». Но это неправда: не упущено, не только опытные комментаторы с 17 по 21 век ясно осознали содержание исчисления в работе, но также можно прямо указать на многие аргументы и доказательства в самой работе, которые определенно использовать принципы, принадлежащие к области исчисления.

То, что практически отсутствует в Principia , — это совсем другое дело: речь идет главным образом об обозначениях. В связи с этим стоит помнить оценку покойного Клиффорда Трусделла, согласно которой «... современный математик, проявляя мало уважения к тем, кто путает обозначения с понятиями, находит «Начала» книгой, изобилующей теорией и применением бесконечно малых величин . исчисление." (Очерки истории механики, 1968, 99 (в № 4)).

Трусделл был не одинок в своем мнении. Например, уже в 1696 году была опубликована книга «Analyse des infiniment petits» («Бесконечно малый анализ») маркиза де л'Опиталя (или л'Опиталя): это было изложение лейбницевской формы дифференциального исчисления. В его предисловии, после должной похвалы Лейбницу, читаем (перевод с французского): «... кредит принадлежит также ученому М. Нейвтону, как и самому М. Лейбнису (в Journal des Sçavans от 30 августа 1694 г.) признал: что он тоже» [т.е. Ньютон] «нашел что-то похожее на дифференциальное исчисление, как явствует из превосходной книги, озаглавленной «Philosophia naturalis principia Mathematica», которую он дал нам в 1687 г., из которой почти все относится к этому исчислению «['lequel est presque tout de ce calcul']. "Однако,

Переходя теперь к более подробным математическим соображениям, исследование Брюса Пурсио (2001) в Historia Mathematica 28, 18-30 исследует «понимание Ньютоном концепции предела посредством изучения некоторых доказательств, появляющихся в Principia » . Пурсио находит, «что Ньютон, а не Коши, был первым, кто представил эпсилон-аргумент, и что в целом ньютоновское понимание пределов было яснее, чем принято думать. Мы наблюдаем ньютоновское различие между двумя свойствами, которые легко спутать, а именно f/g — > 1 и f - g --> 0, [и] мы решаем проблему, созданную ложным переводом, появившимся в редакции Каджори оригинального перевода Мотта, ...". Пурсио особо отмечает три важные леммы в Principia., «Лемма I о пределе разности [ sic , это должна быть оговорка для« отношения », которое появляется в лемме 1], лемма II о существовании интеграла и лемма XI о второй производной» и обсуждает, как « их утверждения и доказательства наиболее ясно показывают понимание Ньютоном предельного процесса». Но «чтобы прочитать эти леммы», говорит Пурсио, «требуется двойной перевод, не только первый перевод с латинского оригинала на английский язык (для чего мы полагаемся на [перевод Принципов И. Б. Коэна 1999 года]), но и второй перевод . также, ибо леммы приходят к нам упакованными в Principiaпредставляет собой уникальное сочетание евклидовой геометрии и пределов, своего рода геометрическое исчисление, и мы не можем разобраться в том, что на самом деле говорят леммы, не распаковав его. Но любой перевод искажает смысл, и мы должны позаботиться о том, чтобы свести к минимуму это искажение, чтобы, насколько это возможно, сохранить первоначальный замысел Ньютона». , содержание действительно должно быть найдено, выраженное в геометрической форме исчисления бесконечно малых, часто основанное на пределах отношений исчезающих малых величин.

По такому вопросу также следует обратиться непосредственно к источнику. Сразу после «Определений и законов движения» Ньютона первый раздел « Начал»В Книге 1 есть ряд лемм о «методе первого и последнего отношений величин, с помощью которого мы демонстрируем следующие утверждения». «Первое» и «последнее» отношения объясняются как пределы отношений величин, либо возрастающих от нуля («зарождающиеся»), либо убывающих до нуля («исчезающие»). Эти леммы включают те, которые обсуждались Pourciau (2001) и уже цитировались. Затем в основной части работы мы находим, среди прочего, предложения 1, 6, 10, 11: в предложении 1 аргумент продолжается путем сборки конечного ряда треугольников, выражающих их равными площадями приращения движения, происходящие после конечного ряда дискретных импульсов. , то Ньютон пишет: «Пусть теперь число этих треугольников будет увеличиваться, а их ширина уменьшаться до бесконечности».", таким образом, он выражает довод о пределах, явно принадлежащих области исчисления, и делает вывод о криволинейной траектории и ее отношении к непрерывной силе, оба из которых выражены ссылкой на результаты в пределе процесса, включающего неопределенно возрастающее число (индивидуально) бесконечно убывающих элементов. В упомянутых более поздних предложениях также есть аргументы пределов, иногда выраженные более кратко и, может быть, небрежно, как когда Ньютон сначала пишет о геометрически определенном «теле», выраженном отношением в какой из факторов, как в числителе, так и в знаменателе, зависит от расстояния PQ, а затем от «той величины, которую [тело] в конечном итоге приобретает, когда точки P и Q совпадают». Контекст и «в конечном итоге» оба указывают, что с фразой 'когда точки ... совпадают », Ньютон имеет в виду предел отношений, возникающих по мере сближения точек друг с другом, как это обсуждалось во вступительном разделе о «методе первого и последнего отношений».

Стоит отметить, что обозначение флюксий составляло лишь одну из форм обозначения, по существу, самую последнюю среди различных выражений Ньютона его идей в этой области. Похоже, он придерживался мнения, что любое конкретное обозначение было относительно неважным по сравнению с идеей, «которая может быть без него». Конечно, можно не согласиться с оценкой Ньютона, выбором обозначений и изложения, но его идеи и работа по их применению засвидетельствованы в различных источниках, цитируемых и обсуждаемых в уже приведенных ссылках.

Короче говоря, исчисление явно не «отсутствует» в « Началах »: и хотя эта ошибочная идея стала одним из многих мифов о Ньютоне, она больше говорит об истории комментаторов и комментаторов, чем о реальных работах Ньютона.

Ньютон хотел изложить свою теорию гравитации так, чтобы люди ее приняли. Но его новые методы исчисления еще не были широко приняты или известны, и поэтому поставили бы под сомнение его физику. По этой причине Ньютон использовал классическую геометрию, математический язык древних мастеров, чтобы избежать нападок со стороны людей на его идеи, основанные на его использовании исчисления.

Ньютон хорошо осознавал логические трудности своего исчисления и на протяжении всей своей карьеры безуспешно пытался объяснить «предельное соотношение» разностного частного. Он не хотел подвергать свою теорию гравитации нападкам, основанным на этих проблемах.

Здесь есть еще кое-какая предыстория , подтверждающая идею о том, что Ньютон понимал логические проблемы своего исчисления и хотел основывать свою физику на математике, в которую все поверят.

Другая причина заключалась в намеренном усложнении его работы. Как сказал Ньютон: « Чтобы не попасться на удочку мелких знатоков математики, я намеренно сделал Principia абстрактным; но все же, как это должно быть понято способными математиками ...

Попутно заметим, что если бы Ньютон вернулся сегодня и познакомился с Интернетом, он был бы как дома. Он не терпел дураков, радостно или нет, и мог пылать с лучшими из них.