(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Question

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Математика
приближение
теория приближения
экспоненциальная функция

Реми.б

Вот приближение, которое я часто вижу в статьях по биологии, но не совсем понимаю:

(1 - Икс)^{у} \approx е^{- Икс у}

$(1-x)^y ≈ e^{-xy}$

я думаю это $e^{-xy}$ близко приближается $(1-x)^y$ в любое время $x$ маленький. Можете ли вы помочь мне понять условия для этого приближения и почему это приближение верно.

Томас Эндрюс

Основная причина этого в том, что

1 - x \approx e^{- x}

$1-x\approx e^{-x}$ когда

x

$x$ маленький. Так

(1 - x)^{y} \approx e^{- x y}

$(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Ответы (2)

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Основная причина этого в том, что $1-x\approx e^{-x}$ когда $x$ маленький. Так $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

Таладрис · Answer 1

При работе с вещественными показателями полезно вернуться к определению:

У нас есть $(1-x)^y=e^{y\ln(1-x)}$

но когда $x$ маленький, $\ln(1-x)\approx -x$ (поскольку касательная к графику $y=\ln(1-x)$ имеет уравнение $y=-x$ ), поэтому для любого $y$ и для любого $x$ маленький,

мы получаем $y\ln(1-x)\approx -xy$ .

Используя непрерывность $\exp$ , мы получаем $(1-x)^y\approx e^{-xy}$ .

пользователь63181 · Answer 2

пользователь63181

У нас есть по ряду Тейлора

(1 - Икс)^{у} \sim_{0} 1 - у Икс

$(1-x)^y\sim_01-yx$ и

е^{- Икс у} \sim_{0} 1 - Икс у

$e^{-xy}\sim_0 1-xy$ поэтому имеем заданное приближение.

Реми.б

я пытался найти

(1 - x)^{y}

$(1-x)^y$ от расширения

e^{- x y}

$e^{-xy}$ в серии, но я не понял, что они оба расширяются до

1 - x y

$1-xy$ . Спасибо! В чем строгое значение

\sim_{0}

$\sim_0$ ? Это «оценивается в

some_variable = 0

$\text{some_variable}=0$ "?

пользователь63181

\sim_{0}

$\sim_0$ означает «асимптотически равные при

0

$0$ " и, например, мы пишем

\sin x \sim_{0} x

$\sin x\sim_0 x$ и это эквивалентно сказать

\underset{Икс \to 0}{лим} \frac{грех Икс}{Икс} "=" 1

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

Антонио Варгас

\sim

$\sim$ не совсем правильное понятие здесь, учитывая, что верно и то, что

e^{- x y} \sim 1 - 100 x

$e^{-xy} \sim 1 - 100x$ как

x \to 0

$x \to 0$ . Этот аргумент, вероятно, следует переработать, чтобы использовать O-нотацию.

пользователь63181

Я не понял тебя!

e^{- x y} \sim 1 - 100 x y

$e^{-xy}\sim 1-100xy$ неправда. @AntonioVargas

Антонио Варгас

Э... да это так. Вы не верите, что

\underset{Икс \to 0}{лим} \frac{е^{- Икс у}}{1 - 100 Икс у} "=" 1 ?

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-xy}}{1-100xy} = 1?$

пользователь63181

ха-ха, ты пытался привести мне контрпример? Хорошо, определение, которое я дал, является предварительным определением для новичка, но если мы знакомы с этой концепцией, тогда определение

ф (Икс) \sim_{а} г (Икс) ⟺ ф (Икс) - г (Икс) {"="}_{а} о (ф (Икс)) ⟺ \forall ϵ > 0, \exists дельта > 0, | Икс - а | < дельта \Rightarrow | ф (Икс) - г (Икс) | < ϵ | ф (Икс) |

Антонио Варгас

Если вы возьмете

f (x) = e^{- x y}

$f(x) = e^{-xy}$ и

g (x) = 1 - 100 x y

$g(x) = 1-100xy$ затем

f (x) - g (x) = e^{- x y} - 1 + 100 x y = o (1) = o (e^{- x y}) = o (f (x))

$f(x) - g(x) = e^{-xy} - 1 + 100xy = o(1) = o(e^{-xy}) = o(f(x))$ как

x \to 0

$x \to 0$ , удовлетворяющее вашему определению. Прошу рассмотреть мое возражение повнимательнее, так как я тоже не новичок.

(1−x)y≈e−xy(1−x)y≈e−xy(1-x)^y ≈ e^{-xy}

Реми.б

Томас Эндрюс

Ответы (2)

Таладрис

пользователь63181

Реми.б

пользователь63181

Антонио Варгас

пользователь63181

Антонио Варгас

пользователь63181

Антонио Варгас

Приложения экспоненциального интеграла?

аппроксимация функции с помощью ряда

Доказательство замкнутой аппроксимации рекуррентного соотношения Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Связь между теоремой Дирихле об аппроксимации и конвергентами

Как использовать касательную окружность в численном методе комплекснозначного дифференциального уравнения

Минимизировать количество точек в кусочно-линейном приближении

Поиск целочисленных приближений

Бесконечная сумма, определяемая ∫exxdx∫exxdx\int \frac{e^x}{x}dx против экспоненциальной функции ряда Тейлора

Определение параметров y=abx+cy=abx+cy=ab^x+c с учетом 3 баллов

О приближении бесконечного ряда