Как использовать касательную окружность в численном методе комплекснозначного дифференциального уравнения

Если решить уравнение

$$\frac{dz}{dt}=-i\omega z$$

с начальным значением$z(0)=1$Вы получаете

$$z = e^{-i\omega t}$$

который описывает окружность в комплексной плоскости с угловой скоростью$-\omega$. Если вы попытаетесь приблизить решение методом Эйлера, оно расходится, потому что

$$z_1 = z_0 + h(-i\omega)z_0 = (1-ih\omega)z_0$$

и

$$|z_1| = |1-ih\omega| = \sqrt{1+(h\omega)^2}$$

для$h,\omega >0$. Так же$|z_{n+1}|>|z_n|$для каждого$n\in\mathbb{N}$.

Я пытаюсь придумать способы исправить это, так что$|z_{n+1}| \leq |z_n|$и желательно с равенством. Я попытался использовать второй член ряда Тейлора, чтобы аппроксимация не была просто линейной аппроксимацией, но та же проблема сохранялась.

Мне приходит в голову, что лучшим методом может быть аппроксимация этого не многочленом, а окружностью. Я помню из расчета 3 соприкасающийся круг, но это было для кривой, параметризацию которой мы уже знали, поэтому я не уверен, смогу ли я использовать это. Другая мысль заключается в том, что вместо схемы

$$y_{n+1}=y_n+hy'_n$$

который движется от$y_n$линейно, добавляя кратное$h$, я мог бы захотеть повернуть, используя сложное умножение, что-то вроде$z_{n+1}=z_nr_ne^{i\omega_nh}$где$r_n\in\mathbb{R}$будет радиусом вращения, большим, когда уместна большая кривизна, и$\omega_n$контроль скорости и направления - опять же, конечно,$h$служит размером шага. Вероятно, мне нужно было бы что-то сделать, чтобы решить проблему определения центра вращения.

Я знаю, что то, что я сделал, не совсем правильно, потому что мне также пришлось бы учитывать центр вращения, но прежде чем идти по этому пути, я хотел знать, возможно ли то, что я пытаюсь сделать. Большое препятствие, которое я не могу понять, это то, как я могу решить$r_n$и$\omega_n$на каждом этапе, используя только производную информацию. Если я правильно понимаю,$\frac{dz}{dt}$дает только линейную аппроксимацию направления комплексного числа, как с вектором.