Если у меня есть тензор второго ранга, который я хочу проанализировать, скажем, электрический квадрупольный момент или момент инерции, его часто можно очень легко проанализировать, переместившись в систему его главных осей: человек поворачивается в систему отсчета. где тензор является диагональным, и это упрощает все виды понимания о нем, независимо от того, видите ли вы тензор как линейное преобразование или как двойную форму или что-то еще.
Однако, когда кто-то сталкивается с тензором ранга три и выше, гораздо менее очевидно, как действовать дальше. Учитывая общий тензор с произвольными элементами (хотя, вероятно, требуется, чтобы он был симметричным во всех парах измерений, просто для простоты), по-видимому, существует система отсчета, в которой тензор намного легче понять (так, например, наклонный октуполь, который ведет себя как имеет осевую симметрию, и это будет выглядеть намного проще, если вы поместите координаты вдоль этой оси), но что это за кадр, какими свойствами он обладает и как его найти?
Тензор второго ранга будет иметь 3 основные оси, которые можно визуализировать. В итоге вы получите 3 оси, и лучший способ визуализировать их в точке — это сплюснутый сфероид в каждой точке. По сути, вы просто вращаете эллипс, созданный двумя основными осями, вокруг третьей. Это могут делать различные программные пакеты, я предпочитаю ParaView, но каждому свое.
Более высокий порядок, чем этот, и у вас не будет очень хорошего способа визуализировать его. Я бы предпочел перейти к другому типу анализа и вместо этого начать смотреть на топологию поля и изучать тензорные инварианты. Эти инварианты являются коэффициентами характеристического уравнения, которое для второго ранга имеет вид:
Подобные выражения существуют, конечно, и для более высоких измерений. В этой статье и в этой статье представлены алгоритмы вычисления инвариантов и выражения для тензора четвертого ранга. В контексте моей работы, гидродинамики, это делается с помощью тензора градиента скорости, или тензора скорости деформации, или тензора скорости вращения. пространство разделено дискриминантными поверхностями, и их можно отнести к топологическим признакам. В примере ранга два есть 8 секторов, которые соответствуют фокусам, седлам, узлам и т. д., которые могут быть стабильными или нестабильными (см., например, эту статью для приложений в жидкостях). Опять же, возвращаясь к моей работе, им можно присвоить физические свойства. Например, неустойчивый фокус/сжатие соответствует вихревому сжатию. Неустойчивый узел/седло/седло представляет собой вихревую пелену, а стабильный узел/седло/седло представляет собой вихревую трубу. Уверен, в вашем случае можно было бы отнести и другие описания, причем для инвариантов более высокого порядка. Сами инварианты также могут иметь физический смысл. Для жидкостей, объемное расширение/сжатие и связано с вращением.
Последняя топологическая техника, с которой я знаком, это комплекс Мореса-Смолла. При этом вы берете поле и определяете критические точки — локальные минимумы, максимумы, седла и узлы. Затем эти точки соединяются вместе через поле, и границы вокруг каждой критической точки определяют поток информации по топологии. Это полезно для создания топологических карт наборов данных высокой размерности.
Эмилио Писанти
Эмилио Писанти