В каком контексте определяется это понятие вектора?

В математике понятие вектора можно сделать довольно общим и абстрактным с помощью идеи векторного пространства. Определим, что такое векторное пространство В и мы говорим, что вектор является элементом векторного пространства В .

Это понятие является алгебраическим, и важно то, как ведут себя операции, выполняемые над элементами множества. В поскольку это происходит с группами, кольцами и полями. В этом случае векторное пространство может включать понятия, весьма далекие от геометрической идеи стрелки, в том числе пространства функций и многое другое.

С другой стороны, есть совершенно частный случай этого понятия, действительно относящийся к геометрии . Это были бы касательные пространства к гладкому многообразию М .

Для гладкого многообразия М , для каждого Икс е М , касательное пространство Т Икс М векторное пространство, содержащее все направления, касающиеся М в Икс . Это означает, что Т Икс М на самом деле определен именно так, что мы можем изобразить его элементы в виде стрелок на Икс .

Физики обычно определяют векторы по-другому, с помощью законов преобразования. Цитирую Арфкен:

Набор Н количества В Дж говорят, что это компоненты Н -мерный вектор В тогда и только тогда, когда их значения относительно повернутых осей координат задаются формулой

В я ′ "=" ∑ я "=" 1 Н а я Дж В Дж , я "=" 1 , 2 , … , Н

Как прежде, а я Дж это косинус угла между Икс я ′ и Икс Дж .

Теперь мой вопрос: когда дается это стандартное определение, ничего не упоминается о предположениях, сделанных в отношении пространства всех векторов.

Конечно, это должно быть векторное пространство, однако я спрашиваю: когда физики выполняют это стандартное определение вектора, то, что определяется, является элементом общего векторного пространства, которым может быть просто что угодно, или имеются в виду именно касательные пространства к гладкому многообразию?

Является ли это определение определением вектора в общем векторном пространстве или определением вектора, принадлежащего касательному пространству к многообразию?

Ответы (2)

На самом деле существует несколько дополнительных интерпретаций касательных векторов. Эквивалентное определение касательного вектора включает классы эквивалентности кривых.

Правильная интерпретация во многом зависит от контекста проблемы. Как заявил QMechanic, мы можем принять точку зрения линейной алгебры или рассматривать их с точки зрения дифференциальной геометрии.

В последнем случае имеется пучок Т М → π М и разделы карты с : М → Т М так что для проекции π ∘ с "=" я д М . Таким образом, касательный вектор является сечением Т М . Его можно рассматривать как,

Т М "=" ⋃ п е М Т п М

то есть объединение всех касательных пространств на многообразии. Касательный вектор в точке п заключается в Т п М который является слоем расслоения Т М → π М .

Эта интерпретация полезна в общей теории относительности, где физика представлена ​​на языке дифференциальной геометрии. С другой стороны, если бы, скажем, я решал задачу классической механики, связанную со стрельбой пушечным ядром, я бы думал о векторе его скорости как о простом некотором в е р 3 .

Спасибо @JamalS. Я знаю эти определения. Также здесь я не рассматриваю поля, поэтому, когда я говорю о гладких многообразиях, я имею в виду вектор в точке (элемент Т М а не раздел). Что я хочу знать, так это то, что когда определение с помощью закона преобразования, которое я изложил, выполняется, физики предполагают, что существует фоновое многообразие? Другими словами, они предполагают, что определяемый вектор является элементом касательного расслоения многообразия? Или они ничего подобного не предполагают, а думают об общем векторном пространстве? Еще раз спасибо за помощь!

OP, по сути, спрашивает, есть ли тензоры 1 в физике надо понимать

  1. в категории векторных пространств и полилинейных отображений, т.е. линейной алгебры;

  2. или в категории векторных расслоений и отображений расслоений, т.е. дифференциальной геометрии?

Ответ: Оба, в зависимости от контекста. В последнем случае тензоры правильнее называть тензорными полями .

--

1 Вектор — это тензор (1,0).

В каком контексте определяется это понятие вектора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v