Гравитационно-связанные системы в расширяющейся Вселенной

Это еще не полный вопрос; скорее, я ищу вопрос и ответ на качественном уровне, описывающий гравитационно связанную систему в расширяющейся Вселенной. Поскольку это качественный уровень, для этого нужна сильно упрощенная модель, желательно в ньютоновской структуре (если это вообще возможно), которая, по крайней мере, показывает дух того, что происходит. Если это невозможно и существует какой-то важный принцип, который упускается из виду в любой ньютоновской модели, это, вероятно, первое, на что нужно указать. В противном случае, ...

Я думаю о настройке, которая начинается примерно так:

Тело массы$m$вращается вокруг другой массы$M \gg m$(принимается за начало координат) по окружности радиусом$R$(и, следовательно, с периодом$T = 2 \pi \sqrt{ R^3 / GM }$). Вовремя$t = 0$, пространство начинает медленно расширяться с постоянной скоростью Хаббла$H$(где "медленно" означает$HT \ll 1$, так что расширение за один период ничтожно мало по сравнению с радиусом орбиты).

Теперь вот где я не уверен, как сформулировать проблему. Я думаю вместо чего-то вроде "бусины на шесте" проблемы. Тогда шарик имеет обобщенные лагранжевы координаты относительно фиксированного положения на полюсе, но полюс расширяется по некоторой внешней функции$a(t)$, а-ля метрика FLRW (для постоянной скорости Хаббла,$H = \dot a / a$так что$a(t) = e^{Ht}$). Таким образом, мы можем назвать расстояние шарика от начала координат в «сопутствующих единицах» лагранжевой координатой.$q$. Тогда расстояние шарика от начала координат равно$d(t) = q(t) a(t)$, что дает нам зависящий от времени лагранжиан.

По сути, мне нужна трехмерная версия этого, которая будет работать для описанной гравитационно связанной системы. Я также надеюсь, что проблема может быть решена как адиабатический процесс, который может означать изменение координат вокруг исходного положения относительно более массивного тела в начале координат, а не координаты, движущиеся вместе.

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: Я не буду утверждать, что полностью понял детали работы Ширмера, но я думаю, что один из важных выводов заключается в том, что космологическое расширение наносит ущерб стабильности круговых орбит и вызывает их распад. Я закончил свою весьма небрежную «ньютоновскую» модель солнечной системы в расширяющейся Вселенной, и я не думаю, что она отражает суть этой части решения ОТО. Модель имеет несколько чувственных свойств:

• Существует расстояние, на котором связанные решения невозможны и два тела гарантированно расширяются друг от друга.
• Есть еще круговая орбита (я не проверял, что она стабильна), радиус которой изменяется членом, включающим постоянную Хаббла.
• По солнечным параметрам этим сдвигом можно пренебречь; он больше (хотя все еще мал) в галактическом масштабе.

Вот модель:

Без этого коэффициента масштабирования лагранжиан был бы

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{r}$$ При добавлении масштабного коэффициента все кинетические члены получат коэффициент $e^{2Ht}$и потенциал фактор $e^{-Ht}$: $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) e^{2Ht}+ \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ (Я не добавлял никаких производных коэффициента масштабирования; это означало бы, что я просто менял координаты, а не добавлял контролируемое извне расширение пространства). Поскольку задача сферически-симметрична, полный момент импульса сохраняется и движение лежит в плоскости (расширение пространства этого не меняет) при $\theta = \pi/2$. Это сводит эффективный лагранжиан к $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 \right) e^{2Ht} + \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ Теперь давайте изменим координаты на $r = \eta e^{-Ht}$. Это представляет собой точку, стационарную относительно начала координат (т. е. массивное тело, вокруг которого вращается меньшее тело). затем $\dot r e^{Ht}= \dot \eta - H \eta$, поэтому лагранжиан становится $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left((\dot \eta - H \eta)^2 + \eta^2 \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{\eta}$$ Это похоже на лагранжиан, слегка модифицированный параметром $H$. После этих манипуляций $\phi$по-прежнему является циклической координатой, а ее сопряженный импульс $p_\phi = m\eta^2 \dot \phi = L$до сих пор сохраняется. Импульс, сопряженный с $\eta$является $$p_{\eta} = m (\dot \eta - H \eta)$$ Итак, уравнение движения для $\eta$является $$m \frac{d}{dt} (\dot \eta - H \eta) = m (\ddot \eta - H \dot \eta) = - mH(\dot \eta - H \eta) + m \eta \dot \phi^2 - \frac{GMm}{\eta^2}$$ Сокращая слагаемые и подставляя в уравнение движения вместо $\phi$, это становится $$\ddot \eta = H^2 \eta + \frac{L^2}{m^2 \eta^3} - \frac{GM}{\eta^2}$$ Таким образом, расширение пространства проявляется как член силы, пропорциональный $\eta$. Для больших $\eta_0$вовремя $t = 0$, есть решение $\eta(t) = \eta_0 e^{Ht}$, куда $\dot \eta = H \eta$согласуется с законом Хаббла (соответствующая сопутствующая координата $r(t) = \eta_0$). Существует также крайне нестабильное орбитальное решение для больших $\eta$, где гравитационная сила как раз уравновешивает космологическое расширение. Этот новый термин также немного смещает положение «устойчивой орбиты» (я не проверял, действительно ли она стабильна в этой ситуации). Расположение устойчивой круговой орбиты при $H = 0$является $$\eta_0 = \frac{L^2}{GMm^2}$$ Тогда пусть $$\eta = \eta_0 + \delta \eta = \eta_0 \left( 1 + \frac{\delta \eta}{\eta_0} \right)$$ В низшем порядке смещение положения стабильной орбиты равно $$\frac{\delta \eta}{\eta_0} = \frac{H^2}{GM/\eta_0^3 - H^2}$$ Для обращения Земли вокруг Солнца это смещение было бы совершенно незначительным — около 15 часов дня. Принимая массу за массу Млечного Пути и расстояние до Солнца от центра, смещение будет немного больше - дробная величина около 2e-7, что составляет несколько сотен а.е. - но все же в значительной степени маленький.