3-дивергенция вектора завихренности в ОТО

В «Релятивистских космологиях» (Эллис, Мартенс, МакКаллум) авторы утверждают, что (стр. 86, раздел 4.7)

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i\dot{u}_i.\tag{A}$$ Здесь $u_i$времяподобное векторное поле, $\dot{u}_i := u_{i;j}u^j$есть ускорение, а завихренность $\omega_{ij} := h_i{}^kh_j{}^\ell u_{[k;\ell]}$определено, где $h^{ij} := u^iu^j + g^{ij}$является оператором проектирования относительно $u^i$(соглашение о пространственной подписи), а квадратные скобки указывают на антисимметризацию. Затем $\omega^i := -\frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk}$, где $\varepsilon^{ijk\ell}$есть тензор Леви-Чивиты (обозначается $\eta^{ijk\ell}$в книге). наконец $\overline{\omega^i{}_{;j}} := h^i{}_kh_j{}^\ell \omega^k{}_\ell$.

Это уравнение$(A)$должно быть получено из тождества Риччи для$u_i$, но из-за опечатки мне непонятно как именно. Однако, пытаясь воспроизвести его, я обнаружил, что правая часть должна быть равна нулю. Моя попытка следует ниже.

Из определений, которые мы имеем$h^i{}_jh_i{}^k = u_ju^k + \delta_j{}^k = h_j{}^k$, откуда

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} + u_iu^j\omega^i{}_{;j}.$$ Выбрав сопутствующую рамку, получим $u_iu^j\omega^i{}_{;j} = \gamma^j{}_{ik}u_ju^k\omega^i = -\omega^i\dot{u}_i$, которое является общековариантным уравнением, откуда $$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} - \omega^i\dot{u}_i. \tag{1}$$ Также из определения имеем $$\omega^i{}_{;i} = -\frac{1}{2}\left(u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} + u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i}\right),$$ где мы использовали тот факт, что тензор Леви-Чивиты имеет исчезающую ковариантную производную. Теперь, так как $u_{i;j} = \overline{u_{i;j}} - \dot{u}_iu_j$мы должны иметь $u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = -\dot{u}_\ell u_i\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = u_i\varepsilon^{ijk\ell}\omega_{jk}\dot{u}_\ell$, так $$\omega^i{}_{;i} = \omega^i\dot{u}_i - \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i} \tag{2}$$

Наконец, из тождества Риччи для$u_i$($u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}R_{i\ell kj}u^\ell$) путем заключения договора с$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}$мы получаем

$$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{imkj}u^m = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{mijk}u^m = 0,$$ циклическим тождеством (первое тождество Бьянки), но $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{[i;j]k}$и поскольку тензор Леви-Чивиты служит для ортогонального проектирования, мы имеем $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k}$откуда $$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k} = 0. \tag{3}$$

Объединение$(1)$,$(2)$, и$(3)$мы получаем

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = 0. \tag{B}$$

Однако,$(A)$и$(B)$конечно кажутся противоречивыми. Примиримы ли они или$(A)$или$(B)$неправильный? Я не могу найти ошибку в своих расчетах.