Тензор энергии напряжений идеальной жидкости и четырехскоростной

В следующей демонстрации есть ошибка, но я не могу найти, где. (я специально поставил с 2 следить за юнитами).

Мы рассматриваем метрику г мю ν с подписью ( − , + , + , + ) :

г мю ν "=" ( − с 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) г мю ν "=" ( − 1 с 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )

Тензор идеальной жидкости: Т мю ν "=" ( р с 2 + п ) ты мю ты ν + п г мю ν Т ν мю "=" ( р с 2 + п ) ты мю ты ν + п дельта ν мю Т мю ν "=" ( р с 2 + п ) ты мю ты ν + п г мю ν где р это массовая плотность.

Мы легко можем это проверить р с 2 и п иметь одинаковую единицу.

Если рассматривать только первую компоненту 00 , давления нет п (я рассматриваю космологический случай, когда жидкость покоится в сопутствующей системе координат). Единственное решение, которое есть, это то, что ты 0 ты 0 "=" − г 00 , так что контравариантный тензор идеальной жидкости становится: Т 00 "=" ( р с 2 + п ) ты 0 ты 0 + п г 00 "=" ( р с 2 + п ) × − г 00 + п г 00 "=" − р с 2 г 00 "=" − р с 2 × − 1 с 2 "=" р что является ожидаемым результатом. Итак, чтобы получить ожидаемый результат, нужно иметь ( ты 0 ) 2 "=" + 1 с 2 .

А теперь самое странное.

Метрику можно записать: г с 2 "=" г мю ν г Икс мю г Икс ν "=" − с 2 г т 2 + г Икс 2 + г у 2 + г г 2 "=" г т 2 ( − с 2 + г Икс 2 г т 2 + г у 2 г т 2 + г г 2 г т 2 ) ≈ − с 2 г т 2 что эквивалентно:

г т 2 г с 2 ≈ − 1 с 2

что значит : ( ты 0 ) 2 "=" − 1 с 2

Таким образом, у нас явно есть проблема знака между двумя выражениями ты 0 .

ВОПРОС: где ошибка?

ты 0 "=" γ с , и не только − г 00 , вы не отменяете часть давления при расчете Т 00
Если я рассматриваю покоящуюся жидкость в сопутствующей системе координат, то я думаю, что Т 00 "=" р
Даже в этом случае вы не можете рассуждать так же, как во второй части. У вас есть ты мю "=" с г Икс мю г с , и вы не можете установить ' г Икс 2 "=" г у 2 "=" г г 2 "=" 0
Во второй части, поскольку моя жидкость находится в покое, я думаю, что условия г Икс г т , г у г т , г г г т ничтожны по сравнению с с 2 , не так ли?
Я пересматриваю свои расчеты, и вот почему я ненавижу г мю ν "=" г я а г ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) : вы определяете ты мю "=" − с г Икс мю г с потому что у вас есть временные промежутки в этой подписи с г т "=" − г с и у тебя всегда есть ты мю "=" г Икс мю г т , и у вас есть проблема со знаком.
Так для вас, на каком именно шаге мои расчеты неверны?

Ответы (1)

Идеальная жидкость определяется тем свойством, что в локальной системе покоя она не допускает потоков энергии и анизотропных напряжений. Таким образом, в заданной точке пространства-времени в локальной системе покоя [в которой компоненты 4-скорости равны ты α "=" ( 1 , 0 , 0 , 0 ) Т ], компоненты тензора энергии-импульса равны Т α β "=" г я а г ( е , п , п , п ) где е - локальная плотность энергии, п – давление в локальной системе покоя. Итак, в общих координатах форма тензора энергии-импульса (как вы написали) имеет вид

Т α β "=" ( е + п ) ты α ты β + п г α β .

Предполагая единицы, где с "=" 1 . Как вы правильно заметили

Т 00 "=" ( е + п ) ты 0 ты 0 − п "=" е ,

где вы правильно показали ты 0 ты 0 "=" 1 .

Теперь ошибка возникает из-за того, как вы получили четырехкратную скорость из выражения для метрики. Правильный способ получить четыре скорости здесь состоит в том, чтобы сначала записать четыре скорости как

ты α "=" г г т ( Икс 0 , Икс я ) Т ,

который дает

ты 0 "=" г т г т "=" γ .

Тогда, конечно, в системе жидкостного покоя мы получим ( ты 0 ) 2 "=" 1 как прежде.

Надеюсь, это поможет.

Редактировать. Чтобы ответить на ваши комментарии:

Для частицы с фиксированными пространственными координатами Икс я , интервал, прошедший при движении вперед во времени, отрицателен, г с 2 "=" − г т 2 < 0 . Это приводит нас к определению правильного времени через

г т 2 "=" − г с 2 .

Собственное время, прошедшее вдоль траектории в пространстве-времени, будет фактическим временем, измеренным наблюдателем на этой траектории. Какой-то другой наблюдатель, как известно, измерит другое время.

Путь в пространстве-времени задается заданием четырех пространственно-временных координат как функции некоторого параметра: Икс мю ( λ ) , где обычно для времениподобных путей наиболее удобным параметром является собственное время т . Итак, мы можем написать

т "=" ∫ − г с 2 "=" ∫ − г мю ν г Икс мю г т г Икс ν г т г т ,

Касательные векторы ты мю "=" г Икс мю / г т , являются нашими четырьмя скоростями, и они могут быть автоматически нормализованы, поэтому мы имеем

г мю ν ты мю ты ν "=" ты мю ты ν "=" − 1.

Чтобы убедиться в этом, вы можете рассмотреть приведенное выше выражение в системе жидкостного покоя. Здесь у нас есть γ "=" 1 и ты я "=" 0 я . Таким образом, ты мю "=" ( 1 , ты я ) Т . Теперь, снова рассматривая систему покоя жидкости, мы ясно видим

ты 0 ты 0 "=" 1.

Опять же, я надеюсь, что это поможет.

В ваших обозначениях вы можете определить, что такое т в моих обозначениях (как функция с или/и т )
т самое подходящее время . Время измеряется в системе покоя жидкости. Это определяется как г т 2 "=" г С 2 / с 2 .
Спасибо. А что за обозначения ( Икс 0 , Икс я ) Т ?
Четыре скорости, как я написал, контравариантны . Противоположные векторы обычно записываются как векторы-столбцы. Итак, чтобы сделать вектор, представленный строкой ( Икс , у , г ) представляют контравариантный/столбцовый вектор, мы берем транспонирование. Это очень педантично с моей стороны, но мне всегда нравится делать это при написании векторов таким образом. Подробнее о ковариантности и контравариантности см. в Википедии .
О, хорошо, я не считаю это педантичным, но вполне оправданным. Но я так и не понял откуда минус между г Икс 0 г т и − г т г т потому что для меня Икс 0 "=" т (поэтому, когда я пишу г 00 г Икс 0 г Икс 0 я получил − с 2 г т 2 ).
@ Винсент, я не уверен, почему у тебя проблемы с тем, что я сказал выше. Однако, похоже, вы действительно хотите увидеть вывод четырехкратной скорости из метрики. Смотрите правку выше...
Тензор энергии напряжений идеальной жидкости и четырехскоростной
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v