Аналитическое выражение для наземного трека Международной космической станции

tl;dr: используйте параметрическое уравнение .

Если бы Земля не вращалась, то у нас было бы что-то вроде

где радиус орбиты равен 1,$\omega$является$2 \pi/T$и$T$- орбитальный период, а$i$есть наклонение орбиты.

Тогда у нас было бы

Если Земля вращается, то

где$\omega_E$является$2 \pi/T_D$и$T_D$- звездные сутки (примерно 23 часа, 56 минут, 4 секунды).

Решение этого для долготы как функции широты выглядит как серьезная работа, и я не уверен, что есть аналитическое решение.

Вместо этого вы можете попробовать метод параметрического уравнения , где вы сначала составляете скрытую таблицу времени, а затем решаете для нее.$lon(t)$и$lat(t)$и сюжет$lat$против$lon$

Вот сюжет, я не регулировал$t_0$или$const$и просто использовал приблизительные значения для$\omega$,$\omega_E$и$i$но этого должно быть достаточно, чтобы вы смотрели.

$t_0$и$const$представлять известные начальные условия космического корабля, который вы пытаетесь построить;$t_0$это время, когда он пересекает экватор на север, и$const$- долгота на Земле под космическим кораблем в это время.

Вот еще чтение:

• 5 Орбита и наземный трек спутника
• Описание орбит
• Теория кроссоверов спутника с землей

Скрипт Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

twopi = 2*np.pi
to_degs, to_rads = 180/np.pi, np.pi/180.

omega = twopi/(92*60)
omega_E = twopi/(23*3600 + 56*60 + 4)

time = 60 * np.arange(101.) # 100 minutes

t0 = 1000. # arbitrary, you can fit this later
inc = 51.
const = 1.0  # arbitrary, you can fit this later

x = np.cos(omega * (time-t0))
y = np.sin(omega * (time-t0)) * np.cos(to_rads*inc)
z = np.sin(omega * (time-t0)) * np.sin(to_rads*inc)

lon = np.arctan2(y, x) - omega_E * (time-t0) + const
lat = np.arcsin(z)

if True:
    plt.figure()
    plt.plot(to_degs*lon, to_degs*lat, '.k')
    plt.xlim(-180, 180)
    plt.ylim(-60, 60)
    #plt.gca().set_aspect('equal')
    plt.show()