Какой треугольник образован тремя неравными массами на круговой ограниченной трехчастичной орбите?

Этот ответ на вопрос Являются ли орбиты всех тройных звездных систем хотя бы технически нестабильными? упоминает:

Известны решения гравитационной задачи трех тел, устойчивость которых можно показать. Лагранж нашел решение трех тел для общих масс, где все три тела вращаются вокруг общего центра масс в виде равностороннего треугольника. Гашо доказал в 1843 году, что это решение устойчиво, если массы компонентов удовлетворяют

м 1 м 2 + м 1 м 3 + м 2 м 3 ( м 1 + м 2 + м 3 ) 2 < 1 / 27

Когда наименьшая масса приближается к нулю, три массы находятся в вершинах равностороннего треугольника. В реалистичной Солнечной системе это означает, что троянские астероиды обычно находятся на орбитах массивных планет, таких как Юпитер, примерно на 60 градусов впереди и позади него.

Но если наименьшая масса велика, но приведенное выше неравенство все еще выполняется, что мы можем сказать о треугольнике, образованном тремя телами на круговой ограниченной орбите задачи трех тел ?

Известно ли, что это равносторонний треугольник, но они вращаются вокруг точки, которая не является центром треугольника, а притягивается к более тяжелому объекту ?

  • Если да, то можно ли это показать, ссылаясь на справку по математике, или показать здесь математически или вычислительно?
  • Если нет, то существует ли выражение для двух углов треугольника в зависимости от отношения масс?

Внутренняя Солнечная система, от Солнца до Юпитера, включая пояс астероидов (Хильды, Трояны и ОСЗ). Источник нажмите, чтобы открыть полный размер

Ответы (1)

На эти вопросы отвечают те же ссылки, перечисленные в моем предыдущем ответе .

В ньютоновском пределе равностороннее решение с тремя телами существует для любой комбинации масс. (Однако он устойчив только при выполнении неравенства в предыдущем ответе.). Эта равносторонняя конфигурация вращается вокруг центра масс, который обычно не находится в центре равностороннего треугольника. Каждое из тел движется по круговой орбите с радиусом (см., например, 1212,0754

р 1 "=" а ν 2 2 + ν 2 ν 3 + ν 3 2
р 2 "=" а ν 1 2 + ν 1 ν 3 + ν 3 2
р 3 "=" а ν 1 2 + ν 1 ν 2 + ν 2 2

и частота

ю "=" М / а 3 ,

где а длина сторон равностороннего треугольника, М общая масса и ν я "=" м я / М .

Ситуация меняется при учете релятивистских эффектов. При учете ведущих (постньютоновских) поправок круговое ограниченное трехчастичное решение все еще существует для общих масс (с меньшей областью устойчивости, чем в ньютоновском случае). Однако треугольная конфигурация больше не является круглой (если только все три массы не равны или две массы не равны 0). Соблюдение расстояний до центра масс р я как и в ньютоновском случае, стороны треугольника теперь определяются как (опять же см. 1212.0754 )

р я Дж "=" а ( 1 + М а ϵ я Дж + О ( М 2 а 2 ) )

с

ϵ 12 "=" 1 24 [ ( ν 1 − ν 3 ) ( 5 − 3 ν 2 ) + ( ν 2 − ν 3 ) ( 5 − 3 ν 1 ) ]
ϵ 23 "=" 1 24 [ ( ν 2 − ν 1 ) ( 5 − 3 ν 3 ) + ( ν 3 − ν 1 ) ( 5 − 3 ν 2 ) ]
ϵ 31 "=" 1 24 [ ( ν 3 − ν 2 ) ( 5 − 3 ν 1 ) + ( ν 1 − ν 2 ) ( 5 − 3 ν 3 ) ] .

Углы треугольника могут быть вычислены из этих длин, если кто-то так наклонен.

«В ньютоновском пределе равностороннее решение с тремя телами существует для любой комбинации масс». Это потрясающе, спасибо!
Какой треугольник образован тремя неравными массами на круговой ограниченной трехчастичной орбите?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v