Что именно означает универсальная переменная x и z?

Следующая страница 204 Основ астродинамики :

Это всего лишь удобные переменные, которые зависят от изменения эксцентрической аномалии от начальной до конечной точки анализируемого (или прогнозируемого) движения.

Для эллиптической орбиты:

или, для отрицательного$a$(гиперболическая орбита),

Для параболической орбиты

Для эллиптической орбиты:

Для гиперболической орбиты:

Для параболической орбиты$z = 0$(также при отсутствии изменений в эксцентрической аномалии).

куда$E$эксцентрическая аномалия (стр. 183):

$D$является «параболической эксцентрической аномалией» и$F$- "гиперболическая эксцентрическая аномалия" (всегда мнимая величина) - аналог$E$для параболических и гиперболических траекторий. На последующих страницах объясняется их происхождение.

В качестве примечания, я думаю, что эксцентрическая аномалия заслуживает лучшего обоснования и объяснения, чем то, что она получает, с расширением произвольных линий до случайно выбранных кругов для неизвестных целей.

Поскольку стандартное уравнение эллипса$({x\over a})^2 + ({y \over b})^2 = 1$(это декартова координата$x$, а не универсальная переменная$x$) типичная параметризация:

Ответ @SF. очень хорош! xSF=xOP и zSF = zOP.

Я использовал некоторые уравнения из этого ответа .

Я не уверен, что это полностью отвечает на вопрос ОП, но, поскольку это подтверждается математически, я назначу эту конкретную награду.

Как говорит Мясной рулет, все работает, если позволить.

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -x * mu * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint   as ODEint
from scipy.integrate import cumtrapz as CTrapz

# https://space.stackexchange.com/questions/31032/what-exactly-means-universal-variable-x-and-z

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

mu     = 1.0
a      = 1.0
peri   = 0.5
apo    = 2.*a - peri
vperi  = np.sqrt(mu*(2./peri - 1./a))
vapo   = np.sqrt(mu*(2./apo  - 1./a))

X0     = np.array([peri, 0, 0, vperi])

time   = np.linspace(0, twopi, 201)

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

x, y, vx, vy = answer.T
theta        = np.arctan2(y, x)
half_theta   = 0.5 * theta


r     = np.sqrt(x**2 + y**2)
xdot  = np.sqrt(mu)/r
xOP   = CTrapz(xdot, time, initial=0)
zOP   = xOP**2/a

# https://space.stackexchange.com/questions/27602/what-is-hyperbolic-eccentric-anomaly-f/27604#27604

ecc       = (apo-peri)/(apo+peri)
term      = np.sqrt((1. - ecc)/(1. + ecc))
tanEover2 = term * np.tan(half_theta)
E         = 2. * np.arctan(tanEover2)
E0        = E[0]
E[E<0]   += twopi  # keep it positive

xSF       = np.sqrt(a)*(E - E0)
zSF       = (E - E0)**2

things    = ( r,   theta,   xOP,   zOP,   xdot,   E,   xSF,   zSF )
names     = ('r', 'theta', 'xOP', 'zOP', 'xdot', 'E', 'xSF', 'zSF')

if True:
    plt.figure()
    for i, (thing, name) in enumerate(zip(things, names)):
        plt.subplot(2, 4, i+1)
        plt.plot(time, thing)
        plt.title(name, fontsize=16)
    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('x and xSF versus time')
    plt.plot(time, xOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, xSF, '--k', linewidth=2)
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.title('z and zSF versus time')
    plt.plot(time, zOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, zSF, '--k', linewidth=2)
    plt.show()

if True:
    x, y, vx, vy = answer.T
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('y versus x')
    plt.plot(x, y)
    plt.plot([0], [0], 'ok')
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.title('x and y versus time')
    plt.plot(time, x)
    plt.plot(time, y)
    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.title('vx and vy versus time')
    plt.plot(time, vx)
    plt.plot(time, vy)
    plt.show()