Аппроксимация энергии для низкого ТТТ в ранней Вселенной

Вы начинаете со (специального) релятивистского выражения для энергии:

$$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$$ Теперь, если первый член намного больше второго ( $mc^2\gg kT$или $v\ll c$), мы должны взять этот первый член из квадратного корня и расширить (тогда в стандартной форме) остаток, отбросив все, кроме ведущего члена: $$E=mc^2\sqrt{1+\frac{p^2c^2}{m^2c^4}}\approx mc^2\Biggl(1+\frac{p^2}{2m^2c^2}\Biggr)=mc^2+\frac{p^2}{2m}$$ Это фактически показывает ошибку в вопросе OP: второй термин отличается.

Я считаю, что этот результат справедлив только для$v\ll c$. Предполагая это, давайте начнем:

$$Total Energy = Rest Energy + Kinetic Energy$$ Имейте в виду, что с тех пор $v\ll c$, $c^2$- коэффициент преобразования энергии в массу и $K.E.=\frac{p^2}{2m}$ $$E=Mc^2+\frac{p^2}{2m}$$ Там!