Атом в суперпозиции: атомно-фотонная система и какова роль окружения?

Одной из возможных моделей для описания того, что вы хотите, является взаимодействие Джейнса-Камминга . Он описывает взаимодействие двухуровневой системы (вашего атома) с одной электромагнитной модой.

Я предполагаю, что поле и атом находятся в резонансе, так что полный гамильтониан записывается на картине Шредингера:

$$H=-\frac{\hbar \omega}{2} \sigma_z + \hbar \omega a^{\dagger} a + \frac{\hbar \Omega_0}{2}\left( a \sigma_+ + a^{\dagger} \sigma_- \right)$$

Но я рассмотрю возможность работы в картине взаимодействия в отношении$-\frac{\hbar \omega}{2} \sigma_z + \hbar \omega a^{\dagger} a$чтобы облегчить обсуждение, в этом случае гамильтониан более прост:

$$H_{JC}=\frac{\hbar \Omega_0}{2}\left( a \sigma_+ + a^{\dagger} \sigma_- \right)$$

Где оператор$a$— оператор уничтожения, уничтожающий один фотон в поле:

$$a|n\rangle = \sqrt{n} |n-1 \rangle$$

И$a^{\dagger}$вызывает возбуждение:

$$a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$$

С этого момента я буду предполагать, что этот гамильтониан$H_{J.C}$описать динамику . Когда вы входите в интерактивное изображение, это эквивалентно разуму в лаборатории во вращающемся кадре, так что вы можете видеть это как изменение кадра.

Зная эволюцию состояний$|e,n\rangle$и$|g,n\rangle$в принципе мы можем вывести эволюцию любого начального состояния атома для любого состояния поля.

Можно показать, что с$\Omega_n \equiv \Omega_0 \sqrt{n+1}$, и где я беру по соглашению за$n<0$:$|n\rangle=0$

$$e^{-\frac{i H_{JC} t}{\hbar}}|e,n\rangle=\cos(\frac{\Omega_n t}{2}) |e,n \rangle - \sin(\frac{\Omega_n t}{2}) |g,n+1 \rangle$$

И:

$$e^{-\frac{i H_{JC} t}{\hbar}}|g,n\rangle=\sin(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |e,n-1 \rangle + \cos(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |g,n \rangle$$

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос, если у вас есть заданное фиксированное количество фотонов в вашем поле, вы увидите, что начальное состояние атома будет запутано с полем :

$$|g,n \rangle \to \sin(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |e,n-1 \rangle + \cos(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |g,n \rangle$$

Теперь, чтобы точно ответить на ваш вопрос: невозможно выполнить желаемое преобразование с фиксированным числом фотонов в поле (если под фотоном вы подразумеваете фоковское состояние). Одна физическая причина этого заключается в том, что это нарушило бы постулат измерения КМ. Действительно, это означало бы, что, измеряя, поглощает ли поле или релаксирует фотоны, вы сможете сделать вывод, в каком состоянии находится атом после взаимодействия, не возмущая атом. Например, здесь, если я измерю количество фотонов в моем поле, если я найду$n$, он проецирует мой атом в$|g \rangle$. если я найду$n-1$он проецирует его в$|e\rangle$. То, что мы не нарушаем постулат об измерении, связано именно с запутанностью: после взаимодействия атом переходит в смешанное состояние.

Что вам нужно сделать, чтобы выполнить желаемое преобразование, так это рассмотреть поле в когерентном состоянии, т.е. поле:

$$|\alpha \rangle = \sum_n c_n |n \rangle$$

С$c_n = e^{-|\alpha|^2} \alpha^n / \sqrt{n!}$

Среднее число фотонов в этом состоянии равно$\overline{n}=|\alpha|^2$. Расчет эволюции:$\left(a|0\rangle + b|1\rangle \right) |\alpha\rangle$на время взаимодействия$t=\theta/(\Omega_0 \sqrt{\overline{n}})$ в пределе $\overline{n} \to +\infty$можно показать, что полученное конечное состояние атома будет соответствовать

$$|g,\alpha\rangle \to \frac{1}{\sqrt{2}}(|g\rangle + |e \rangle) \otimes |\alpha\rangle$$

Это одна из причин, по которой когерентные состояния считаются классическими состояниями: в пределе больших фотонов они воспроизводят ожидаемую динамику электромагнитного поля, моделируемого как классическое: т. е. воспроизводят классические осцилляции Раби (атом остается в чистом состоянии ) .

И здесь, как видите, постулат измерения не нарушается, так как поле находится в одном и том же состоянии до и после взаимодействия. Обратите внимание, что это на самом деле не нарушает закон сохранения энергии, потому что здесь это происходит в пределе$\alpha \to \infty$. Для любого фиксированного (но большого) значения$\alpha$у вас все равно будет небольшая запутанность между атомом и полем. Измерив количество фотонов в поле, вы получите доступ к информации о состоянии атома и заставите его «свернуться» аналоговым способом, как и раньше.

И сумма энергии в полученном состоянии поля и в состоянии, в котором атом схлопнулся, будет соответствовать начальной энергии, которая была у вас в начале (это аналогичная ситуация, описанная с фоковским состоянием).

Дело в том, что чем больше энергии вы вложите в поле, тем меньше там будет запутанности. У вас есть абсолютно$0$запутанность только в теоретическом пределе бесконечного числа фотонов.

В большинстве случаев квантовой механики существует четкое разделение между изучаемой системой (скажем, частицей или молекулой с какой-то внутренней структурой) и неким классическим или полуклассическим фоном, на котором разыгрывается волновая механика. Дана система, которая каким-либо образом подготовлена ​​в начальном (когерентном) состоянии$\psi$, скажем, с квантовыми числами$s, t, x$и т. д., исходная предпосылка часто состоит в том, что система развивается унитарно. Однако эта предпосылка нетривиальна.

В более общем случае состояние квантовой системы описывается матрицей плотности$\hat \rho$, что допускает возможность того, что система запутана с ненаблюдаемыми (или даже не обнаруженными) степенями свободы, которые также демонстрируют квантовые корреляции.

В этом контексте матрица плотности системы$A$мыслится, постулируя существование своего рода двойственной системы$B$такая система завершена$A$, в том смысле, что совместная система$AB$прекрасно описывается чистой волновой функцией$\psi_{AB}$и претерпевает унитарную динамику согласно некоторому совместному гамильтониану,$H_{AB}$. Данный$\psi_{AB}$и$H_{AB}$, сначала вводится своего рода тривиальная матрица плотности$\hat\rho_{AB}$для$AB$система, определяемая как внешний продукт$\psi_{AB}$со своим эрмитовым сопряжением,$\psi_{AB}^*$: вы можете думать об этом как о проекции из гильбертова пространства$AB$системы на одномерный промежуток$\psi_{AB}$. Затем оценивается частичный след$\hat\rho_{AB}$путем суммирования квантовых чисел$B$система. Результат - объект$\hat\rho_A$который описывает статистику измерения$A$системы после (неизвестного или забытого) измерения$B$система.

В системе, которую вы описываете, кажется, что рассматриваемый фотон (или электромагнитное поле) не может быть полностью классической координатой. Следовательно, чтобы фактически описать полное квантовое состояние, может быть необходимо включить дополнительное квантовое число в пространство состояний, описывающее состояние фотона: поглощается ли он (то есть «нулевой») или излучается («наблюдаемый»). , и, возможно, «энергию» или гармонический индекс, связанный с ним (если это не известно неявно: это в некотором роде аналогично высоте музыкальной ноты). Если вы подготовили систему/фотонный ансамбль в полностью поглощенном состоянии, и позволили ей пройти унитарную временную эволюцию согласно некоторому подходящему гамильтониану, вы можете увидеть, как система периодически или квазипериодически излучает и повторно поглощает фотон (т.е.$|g\rangle\rightarrow \frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle + |e\rangle)$переход (в несколько философски запутанном смысле), каким-то образом измеряя состояние фотона и вызывая своего рода коллапс частичной волновой функции системы, и происходит падение в$\frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle + |e\rangle)$ветвь реальности, или наблюдая за системой в ее$|g\rangle$состояния в какой-то момент, а затем каким-то образом выбирая новую основу измерения (возможно, с помощью умной интерферометрии), чтобы новые состояния системы после измерения$\frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle \pm |e\rangle)$.

Обратите внимание, что переход, который вы описываете, также можно произвести с помощью классического электромагнитного/фотонного поля, которое просто добавило бы возмущение к гамильтониану системы само по себе (без каких-либо вспомогательных переменных или фотонов). полный набор квантово-механически достижимой и потенциально желательной динамики системы плюс фотон только с системой.