Батареи и напряжение?

$\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vS{{\vec{S}}}$ $\def\vA{{\vec{A}}}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\ph{{\varphi}}$ $\def\vn{{\vec{n}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$Заряд, плавающий по проводу, вызывает плотность тока$\vec{S}$в проводе (не только на поверхности). Это вызывает электрическое поле$\vec{E}=\frac{\vec{S}}{\kappa}$(где$\kappa$это проводимость).

The $\vec{E}$-поле внутри провода будет направлено параллельно проводу. И касательная составляющая$\vec{E}$-поле сплошное на поверхности проволоки. Следовательно$\vec{E}$-поле на поверхности проволоки не будет перпендикулярно поверхности.

Если в проволоке нет резких перегибов, то можно считать, что поле в проволоке (локально) однородно. В этом случае интеграл по путям$V=\int_{s=0}^l \vec{E}\cdot d\vec{r}$вдоль оси провода можно аппроксимировать выражением$V=E\cdot l$с очень хорошим качеством. Таким образом мы получаем$E=\frac{V}{l}$и$S=\kappa E=\kappa\frac{V}l$. Электрический ток$I$является интегралом плотности тока$\vec{S}$по площади поперечного сечения$A$. В предположении однородного поля это становится$I=AS = \frac{\kappa A}l V$. (Вы можете распознать проводимость в этой формуле).

Мощность, потребляемая от батареи$P_{\rm Loss}=VI$просто производит тепло в проводе.

---

Управляющие уравнения:

1. $\rot\vE = 0$. Это означает, что у нас есть электрический потенциал$\ph$с$\vE=-\grad\ph$внутри проводника.
2. $\vS=\kappa\vE$.
3. $\div{\vS} = 0$(без изменения объемного заряда в проводнике, фактически вообще без объемного заряда, поверхностный заряд возможен, но не относится к стационарному электромагнитному полю)
4. ток не уходит из проводника через пограничный слой проводника и изолятора, т.е.$\vn\cdot \vS=0$
5. $\int_{P} \vE\cdot d\vr = V$где$P$представляет собой ориентированный путь, соединяющий положительный полюс батареи с ее отрицательным полюсом.

Кроме того, мы можем произвольно зафиксировать потенциал$\ph$на отрицательном полюсе аккумулятора$P_-$до нуля (т.$\ph(\vr) = 0$для$\vr\in P_-$).

Потенциал на положительном полюсе$\vr_+\in P_+$затем определяется

$$\begin{array}{rcl} \ph(\vr_+) &=& \ph(\vr_+)-\ph(\vr_-)\\ &=&\int_{\vr_-}^{\vr_+} \grad\ph\cdot d\vr\\ &=& -\int_{\vr_+}^{\vr_-} \vE\cdot d\vr\\ &=& V \end{array}$$ с $\vr_-\in P_-$.

Эти уравнения определяют краевую задачу для поля в области проводника$D$:

$$\begin{array}{rclll} \Delta \ph(\vr) &=& 0 & @ \vr \in D&\text{ from }0=\div\vS=\div\kappa\vE=-\kappa\div\grad\ph\\ \vn\cdot \grad\ph(\vr) &=& 0 & @ \vr \in \partial D\setminus (P_- \bigcup P_+)&\text{ from }0=\vn\cdot\vS=\vn\cdot\kappa\grad\ph\\ \ph(\vr) &=& 0 &@\vr\in P_-&\text{ pre-defined}\\ \ph(\vr) &=& V &@\vr\in P_+&\text{ from the battery voltage} \end{array}$$

Граничные условия однозначно определяют решение.

Решение$\ph$линейно зависит от$V$. Если$\ph_1$это решение для$V=1$то можно представить решение для каждого возможного напряжения$V$как$\ph(\vr) = V\ph_1(\vr)$. Ток через сечение провода$A$на минусовом полюсе можно рассчитать по формуле

$$\begin{array}{rcl} I &=& \int_A \vS d\vA\\ &=& \int_A \kappa \grad\ph d \vA\\ &=& \left(\kappa \int_A \grad\ph_1 d\vA\right) V \end{array}$$ Коэффициент $G:=\left(\kappa \int_A \grad\ph_1 d\vA\right)$проводимость, которая зависит только от постоянной материала $\kappa$и по геометрии провода.

По пути мы только что нашли VI-отношение проволоки.

---

Понимаете, нужен только тот факт, что плотность тока касается поверхности. Поверхностный заряд не влияет на результат.

Обратите внимание, что для стационарного поля поверхностный заряд провода может компенсировать некоторое внешнее электростатическое поле, так что внутреннее поле соответствует полю, определяемому вышеприведенной краевой задачей.

---

Если вы интерпретируете электроды в батарее как концы провода, то вы правы. Мы можем иметь здесь только очень упрощенное представление о химии. (Более подробную информацию можно найти на http://www.chem1.com/acad/webtext/elchem/ ).

Анод частично растворяется в электролите. Положительно заряженные ионы уходят в электролит, а электроны остаются на электроде. Электроны создают поверхностный заряд на аноде, но они имеют аналог в виде положительно заряженных ионов в растворителе. Общая батарея электрически нейтральна.

Это создает двойной электрохимический слой вблизи электрода. Следующая картинка иллюстрирует принцип.