Бесконечномерное представление алгебры Лоренца

Question

Бесконечномерное представление алгебры Лоренца

Андреа

В КТП нам нужно использовать бесконечномерные представления алгебры Лоренца, потому что все нетривиальные конечномерные представления al не являются унитарными, а нам нужны унитарные представления, так что $\langle\psi\vert\psi^\prime\rangle$ инвариантен относительно преобразований Лоренца (Шварц, Квантовая теория поля, стр. 110),

⟨ ψ | ψ^{'} ⟩ \to ⟨ ψ | Λ^{†} Λ | ψ^{'} ⟩ "=" ⟨ ψ | ψ^{'} ⟩

$\langle\psi\vert\psi^\prime\rangle \to \langle\psi\vert\Lambda^{\dagger}\Lambda\vert \psi^\prime\rangle = \langle\psi\vert\psi^\prime\rangle$ если

Λ^{†} Λ = I .

$\Lambda^{\dagger}\Lambda = I.$

Бесконечномерные представления алгебры Лоренца достигаются с помощью дифференциальных операторов (Maggiore, A Modern Introduction to Quantum Field Theroy, стр. 30, и Zee, Group Theory, стр. 434), которые действуют в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом. (которая бесконечномерна), вместо матриц, действующих на $\Bbb R^{4}$ векторное пространство.

Итак, я понимаю, что цель бесконечномерных представлений состоит в том, чтобы получить эрмитовы генераторы $J_i, K_i$ для алгебры Лоренца Ли, так что преобразование Лоренца $\Lambda=e^{i(\alpha_i J_i+\beta_i K_i)}$ унитарный ( $\Lambda^{\dagger} = e^{-i(\alpha_i J_i+\beta_i K_i)})$ .

В книге Зи о группе (стр. 434) у нас есть следующее определение для $K_1$ ,

я К_{1} "=" т \frac{\partial}{\partial Икс} + Икс \frac{\partial}{\partial т},

$iK_1 = t\frac{\partial}{\partial x} + x\frac{\partial}{\partial t},$
а позже он заявляет (стр. 436), что

i K_{1}

$iK_1$ является эрмитовым.

Для меня это совершенно неправильно, потому что если $iK_1$ были эрмитовскими, то $K_1$ было бы антиэрмитовым, и тогда мы бы упустили цель использования бесконечномерного представления для получения эрмитовых генераторов.

Кроме того, явный расчет показывает, что $K_1$ является эрмитовым, а затем $iK_1$ является антиэрмитовым:

Сопряженный оператор $A$ определяется (Хассани, Математическая физика, стр. 61): $\langle \psi\vert A \vert \psi^\prime\rangle^{*} = \langle \psi^{\prime}\vert A^{\dagger}\vert \psi\rangle$ .

Так $A$ является эрмитовым (т.е. самосопряженным), если

⟨ ψ | А | ψ^{'} ⟩^{*} "=" ⟨ ψ^{'} | А | ψ ⟩ .

$\langle \psi\vert A \vert \psi^\prime\rangle^{*} = \langle \psi^{\prime}\vert A \vert \psi\rangle.$

В гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом, скалярный продукт определяется (ниже $x$ четырехвектор) $⟨ ф | г ⟩ "=" \int ф (Икс) г (Икс)^{*} г Икс .$ $\langle f \vert g \rangle = \int f(x)g(x)^* \, dx .$

Интегрируя по частям и полагая, как обычно, что $\psi(x),\psi^{\prime}(x) \to 0$ когда $x\to boundary$ , ты понял

⟨ ψ | К_{1} | ψ^{'} ⟩^{*} "=" ⟨ ψ^{'} | К_{1} | ψ ⟩ .

$\langle \psi\vert K_1 \vert \psi^\prime\rangle^{*} = \langle \psi^{\prime}\vert K_1 \vert \psi\rangle.$

Мне очень не хочется верить, что Зи делает это неправильно, поэтому я спрашиваю, верны ли мои рассуждения или я упускаю какой-то важный шаг.

Любопытный Разум

Существует общепринятая проблема, когда некоторым людям нравится, когда их генераторы антиэрмитовы (т.е. антиэрмитовы).

T

$T$ генерирует унитарное

e^{T}

$\mathrm{e}^{T}$ ), а некоторым нравится, чтобы их генераторы были эрмитовыми (т.е. эрмитовыми

T

$T$ генерирует унитарное

e^{i T}

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}T}$ ). Вы уверены, что это не просто разница в соглашении? Сравнение факторов

i

$\mathrm{i}$ и

- 1

$-1$ по разным источникам часто бывает сложно из-за этого.

Андреа

Это не кажется просто обычной проблемой, потому что на тех же страницах он утверждает, что

J_{i}

$J_i$ является эрмитовым, поэтому

J_{i}

$J_i$ является эрмитовым и

K_{i}

$K_i$ антиэрмит. Если бы это была только условная проблема, я бы ожидал, что все генераторы будут эрмитовыми или антиэрмитовыми.

Любопытный Разум

В таком случае, вы уверены, что представление, которое описывает Зи, действительно является унитарным представлением в пространстве состояний, а не заведомо не унитарным представлением в полях? В последнем бусты антиунитарны, см., например, physics.stackexchange.com/q/669780/50583 .

Андреа

На этой странице он использует генератор, определяемый тщательным дифференциальным оператором. Насколько я понимаю, генераторы, определяемые тщательными дифференциальными операторами, используются только для пространства состояний. Если бы это было представление на полях, не должен ли он использовать обычное матричное представление (которое не является унитарным)?

Андреа

Также в моем посте я сделал явный расчет, который показывает, что

K_{i}

$K_i$ не антиэрмит

Вальтер Моретти

я не понимаю, что

t

$t$ находится в этом контексте.

L^{2}

$L^2$ пространство считает переменную

x

$x$ только.

Андреа

x

$x$ это четырехвектор так

x = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})

$x=(x^0, x^1, x^2, x^3)$ где

x^{0} = t

$x^0=t$ и

x^{1} = x

$x^1=x$ ,

x^{2} = y

$x^2=y$ ,

x^{3} = z

$x^3=z$

Андреа

а потом

я К_{1} "=" {Икс}^{0} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{1}} + {Икс}_{1} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{0}}

$iK_1 = x^0\frac{\partial}{\partial x^1} + x_1\frac{\partial}{\partial x^0}$

Вальтер Моретти

Это не имеет смысла.

L^{2}

$L^2$ относится только к пространственным переменным. В этом контексте

t

$t$ внешний параметр

\partial_{t}

$\partial_t$ не является оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Векторное поле

K_{1}

$K_1$ Вы написали, что это не генератор лоренцевской симметрии в гильбертовом пространстве.

Вальтер Моретти

Можно определить гильбертово пространство, включая

t

$t$ координаты, однако гильбертово пространство не является пространством квантовой теории. Там гильбертово пространство относится только к пространственным переменным/пространственным импульсам, если частица массивна, или к пространственным импульсам, если она безмассовая.

Космас Захос

Вы просматривали теорему 10.5 WP или Wu-Ki Tung? Квантовые поля преобразуют неунитарность, но моды осциллятора унитарны. «Волновые функции» обеспечивают витое соединение/преобразование.

Космас Захос

Ваше «понимание состоит в том, что генераторы, определенные через дифференциальные операторы, используются только для пространства состояний», неверно. Эти дифференциальные операторы действуют на 4-вектор и его композиции. Явно не на пространстве состояний (Фок).

Андреа

@CosmasZachos, спасибо, вы правы, гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, не может быть пространством состояний. Однако кажется, что эти дифференциальные операторы обеспечивают бесконечномерное представление. Об этом ясно сказано в книге Маджоре, последние 10 строк на странице 30. Я бы сказал, что заявление Зи о том, что

K_{1}

$K_1$ является антиэрмитовым, остается неверным: он должен указать, что он имеет в виду под «эрмитовым», потому что объект здесь — дифференциальный оператор, действующий на функции (а не на матрицу), поэтому он должен упомянуть, что такое скалярное произведение.

Андреа

Насколько мне известно, дифференциальные операторы обычно действуют в гильбертовом пространстве функций, суммируемых с квадратом, а скалярное произведение обычно определяется так, как в моем посте. Если это правильно то

K_{1}

$K_1$ не является антиэрмитовским. Я только что узнал, что в книге Маджоре на странице 52 скалярное произведение определяется по-другому (интеграл находится только в пространственной переменной и появляется как производная по времени). С этим определением скалярного произведения он утверждает, что приведенные выше дифференциальные операторы являются эрмитовыми.

Ответы (1)

Бесконечномерное представление алгебры Лоренца

Существует общепринятая проблема, когда некоторым людям нравится, когда их генераторы антиэрмитовы (т.е. антиэрмитовы). $T$ генерирует унитарное $\mathrm{e}^{T}$ ), а некоторым нравится, чтобы их генераторы были эрмитовыми (т.е. эрмитовыми $T$ генерирует унитарное $\mathrm{e}^{\mathrm{i}T}$ ). Вы уверены, что это не просто разница в соглашении? Сравнение факторов $\mathrm{i}$ и $-1$ по разным источникам часто бывает сложно из-за этого.
Это не кажется просто обычной проблемой, потому что на тех же страницах он утверждает, что $J_i$ является эрмитовым, поэтому $J_i$ является эрмитовым и $K_i$ антиэрмит. Если бы это была только условная проблема, я бы ожидал, что все генераторы будут эрмитовыми или антиэрмитовыми.
В таком случае, вы уверены, что представление, которое описывает Зи, действительно является унитарным представлением в пространстве состояний, а не заведомо не унитарным представлением в полях? В последнем бусты антиунитарны, см., например, physics.stackexchange.com/q/669780/50583 .
На этой странице он использует генератор, определяемый тщательным дифференциальным оператором. Насколько я понимаю, генераторы, определяемые тщательными дифференциальными операторами, используются только для пространства состояний. Если бы это было представление на полях, не должен ли он использовать обычное матричное представление (которое не является унитарным)?
Также в моем посте я сделал явный расчет, который показывает, что $K_i$ не антиэрмит
я не понимаю, что $t$ находится в этом контексте. $L^2$ пространство считает переменную $x$ только.
$x$ это четырехвектор так $x=(x^0, x^1, x^2, x^3)$ где $x^0=t$ и $x^1=x$ , $x^2=y$ , $x^3=z$
а потом $я К_{1} "=" {Икс}^{0} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{1}} + {Икс}_{1} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{0}}$ $iK_1 = x^0\frac{\partial}{\partial x^1} + x_1\frac{\partial}{\partial x^0}$
Это не имеет смысла. $L^2$ относится только к пространственным переменным. В этом контексте $t$ внешний параметр $\partial_t$ не является оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Векторное поле $K_1$ Вы написали, что это не генератор лоренцевской симметрии в гильбертовом пространстве.
Можно определить гильбертово пространство, включая $t$ координаты, однако гильбертово пространство не является пространством квантовой теории. Там гильбертово пространство относится только к пространственным переменным/пространственным импульсам, если частица массивна, или к пространственным импульсам, если она безмассовая.
Вы просматривали теорему 10.5 WP или Wu-Ki Tung? Квантовые поля преобразуют неунитарность, но моды осциллятора унитарны. «Волновые функции» обеспечивают витое соединение/преобразование.
Ваше «понимание состоит в том, что генераторы, определенные через дифференциальные операторы, используются только для пространства состояний», неверно. Эти дифференциальные операторы действуют на 4-вектор и его композиции. Явно не на пространстве состояний (Фок).
@CosmasZachos, спасибо, вы правы, гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, не может быть пространством состояний. Однако кажется, что эти дифференциальные операторы обеспечивают бесконечномерное представление. Об этом ясно сказано в книге Маджоре, последние 10 строк на странице 30. Я бы сказал, что заявление Зи о том, что $K_1$ является антиэрмитовым, остается неверным: он должен указать, что он имеет в виду под «эрмитовым», потому что объект здесь — дифференциальный оператор, действующий на функции (а не на матрицу), поэтому он должен упомянуть, что такое скалярное произведение.
Насколько мне известно, дифференциальные операторы обычно действуют в гильбертовом пространстве функций, суммируемых с квадратом, а скалярное произведение обычно определяется так, как в моем посте. Если это правильно то $K_1$ не является антиэрмитовским. Я только что узнал, что в книге Маджоре на странице 52 скалярное произведение определяется по-другому (интеграл находится только в пространственной переменной и появляется как производная по времени). С этим определением скалярного произведения он утверждает, что приведенные выше дифференциальные операторы являются эрмитовыми.

Космас Захос · Answer 1

Я думаю, что связанные вопросы, а также статья и книги WP разрешают заглавный вопрос, который большинство респондентов назвали его сердцевиной, указывая на то, что квантовые поля преобразуются в конечномерные неунитарные иррепрезентации группы Лоренца, в то время как состояния/частицы в бесконечномерное неравенство одной и той же группы и то, как они объединяются/перепаковываются и переходят друг в друга.

Однако я полагаю, что суть вашего вопроса заключается в непонимании дифференциальной реализации , которую вы используете для антиэрмитовых бустов, $K_i$ , например

я К_{1} "=" т \partial_{Икс} + Икс \partial_{т} .

$iK_1= t\partial_x + x\partial_t~ .$ Это сокращение векторного поля, обобщающее действие буста на неунитарные 4D-неповторения буста Лоренца, а именно 4-векторы

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ .

Для простоты, поскольку вы действуете только в 2D-подпространстве (t,x) , давайте урежем (y,z) ,

(\begin{matrix} т^{'} \\ {Икс}^{'} \end{matrix}) "=" е^{- ζ о_{1}} (\begin{matrix} т \\ Икс \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} чушь ζ & - грех ζ \\ - грех ζ & чушь ζ \end{matrix}) (\begin{matrix} т \\ Икс \end{matrix}),

$\begin{pmatrix} t'\\x' \end{pmatrix}=e^{-\zeta \sigma_1} \begin{pmatrix} t\\x \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cosh \zeta &-\sinh \zeta \\ -\sinh \zeta &\cosh \zeta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t\\x \end{pmatrix},$ где

ζ

$\zeta$ - быстрота и c=1 . Вы замечаете, что это преобразование определенно не является унитарным, что и хорошо: оно предназначено только для сохранения интервала

t^{2} - x^{2}

$t^2-x^2$ , а не наивное положительно определенное евклидово скалярное произведение.

Бесконечно малое преобразование

(т^{'}, {Икс}^{'})^{Т} "=" (т, Икс)^{Т} - ζ (Икс, т)^{Т} + О (ζ^{2}) .

$(t',x')^T =(t,x)^T -\zeta (x,t)^T + O(\zeta^2).$ Так, например, преобразованное скалярное поле

ф (т^{'}, {Икс}^{'}, у^{'}, г^{'}) "=" ф (т, Икс, у, г) - ζ (Икс \partial_{т} + т \partial_{Икс}) ф (т, Икс, у, г) + О (ζ^{2}) .

$\phi(t',x',y',z')= \phi(t,x,y,z) -\zeta (x\partial_t +t\partial_x)\phi(t,x,y,z) +O(\zeta^2).$ Но «в глубине души» вы понимаете, что преобразуете только 4-векторы, а не парадигматические бесконечномерные векторы элементарного КМ гильбертова пространства (где

i \partial_{x}

$i\partial_x$ действительно переводится в знакомые бесконечномерные матрицы Гейзенберга ).

Для нескалярных полей, таких как, например, спинорное поле, вы дополнительно перемешиваете четыре компонента 4-спинора, опять же конечного, а не бесконечномерного представления группы Лоренца, посредством также эрмитова, а не антиэрмитова приращения, включающего повышение матрицы γ . Я припоминаю, что текст Шварца, внизу стр. 171, четко иллюстрирует, как это прекрасно согласуется с лоренц-инвариантностью $\bar \psi \psi$ !

Итак, вывод состоит в том, что ваша дифференциальная реализация противоречащим здравому смыслу действует на конечномерные представления и резко отличается от $L^2$ формализм, на котором вы сосредоточены (а также бесконечномерная матрица, не зависящая от операторов рождения и уничтожения, описывающих состояния частиц). Я не хочу увлекаться педагогической бойкостью или неоптимальностью текстов, о которых вы говорите. (Об одном из них у меня личное мрачное мнение, полвека назад, еще до того, как оно было написано...).

Могу я спросить вас, какая книга, по вашему мнению, является хорошей вводной книгой по QFT с упором на групповые концепции?
Однако я должен сказать, что и Шварц утверждает, что $L^{\mu\nu}=i(x^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} - x^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}})$ это бесконечномерное представление группы Лоренца (стр. 161)
Боюсь, вы правы; Мэтт тоже время от времени распространяет чепуху. Тем не менее, он правильно понял смысл спиноров в нижней части страницы 171, где неунитарность существенна. У Вайнберга много, но исключительно формального и недружественного чтения. Выбирайте отсюда . Книга Ву-Ки Дуна по теории групп, упомянутая выше, является самой дружелюбной.
Компромиссный способ прочесть утверждение Мэтта с принятием состоит в том, чтобы отметить, что это действие в пространстве функций приводимо. То есть, как показано выше, действие группы Лоренца преобразует переменные функции, оставляя вас на той же форме функции. Действие оказывается таким же для любой другой функции, которая, в некотором смысле, $\phi(t,x,y,z)$ не видит напрямую. Структура является бесконечным прямым произведением четырехмерных невозвратов.
Мой смысл состоит в том, чтобы не зацикливаться на бойких/неуловимых закостенелых формальных утверждениях, а исследовать, что на самом деле происходит с простыми базовыми объектами, что и стремится инкапсулировать гиперформальный абстрактный язык.
@Andrea Пространство 4-векторных функций бесконечномерно. Представление группы Лоренца (или Пуанкаре) в этом пространстве не является унитарным и является «по духу» просто конечномерным 4-векторным представлением, как объясняет здесь Косма, но, конечно, технически бесконечномерно, потому что пространство функций является. Будьте осторожны: то, что каждое унитарное представление должно быть бесконечномерным, не означает, что каждое бесконечномерное представление должно быть унитарным.
Какое скалярное произведение я должен использовать, чтобы показать, что эти генераторы не являются эрмитовыми (и тогда групповое представление не является унитарным)?
Не уверен, никогда такого не видел; возможно, Гилмор потрудится обсудить это. Он может быть построен вокруг интервала. Но помните, что все обычные операторы касаются невозвратов , то есть матриц, не являющихся непересекающимися прямыми суммами генераторов невозвратов, поэтому вы должны сначала ввести схему для отображения вашей реализации в матричное представление в пространстве функций.
Спасибо всем ответившим, которые помогли мне (надеюсь) лучше понять. Сообщение, которое я понимаю, состоит в том, что это представление на самом деле представляет собой представление алгебры Лоренца, технически оно бесконечномерно, но оно не неприводимо. Нерепутация приведена в качестве примера в Wi-Ki Tung.

Бесконечномерное представление алгебры Лоренца

Андреа

Любопытный Разум

Андреа

Любопытный Разум

Андреа

Андреа

Вальтер Моретти

Андреа

Андреа

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Космас Захос

Космас Захос

Андреа

Андреа

Ответы (1)

Космас Захос

Андреа

Андреа

Космас Захос

Космас Захос

Космас Захос

Любопытный Разум

Андреа

Космас Захос

Андреа

Почему группа Лоренца использует сложные генераторы в КТП? [дубликат]

Связь между разложением su(2)su(2)\mathfrak{su}(2) и алгеброй Ли Лоренца

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Генераторы групп Пуанкаре.

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Алгебра Лоренца и ее образующие

Как инвариантная скорость света закодирована в SL(2,C)SL(2,C)SL(2, \mathbb C)?

Идея кавер-группы

Общий анализ внутренних симметрий в КТП

Подразумевает ли масштабная инвариантность безмассовое или непрерывное распределение массы?