Общий анализ внутренних симметрий в КТП

Я пытаюсь как можно больше понять о внутренних симметриях в КТП, не используя лагранжиан или канонический формализм (ни теорию возмущений), но мне трудно найти хорошие ссылки.

Например, если мы рассмотрим свободную теорию с U ( 1 ) симметрии легко построить числовой оператор и показать, что его собственные значения являются целыми числами.

  • Когда мы добавляем взаимодействия, остается ли это верным? Очевидно, что это верно для асимптотических состояний, но как насчет связанных состояний? должны ли они также иметь целочисленный заряд?

В качестве примера того, что я имею в виду: можно использовать алгебру операторов углового момента [ Дж я , Дж Дж ] "=" я ϵ я Дж к Дж к показать, что собственные значения Дж я дискретны:

  • Можно ли сделать то же самое, скажем, с оператором заряда? Другими словами, можно ли с помощью алгебры внутренних симметрий показать, что внутренние квантовые числа должны быть дискретными?
Мой пост был отредактирован, и вопросы были разделены на шесть разных пунктов. Я не согласен с редактированием: это выглядело так, будто я задаю шесть разных вопросов, хотя на самом деле я задаю только один. Я отредактировал пост; Я надеюсь, что люди в порядке с этим.
@user81003 user81003 спасибо :-) Я почитаю

Ответы (1)

Я не уверен, что правильно понял ваш вопрос. Однако относительно спектра можно сказать кое-что общее, просто взглянув на абстрактную группу. Если вы представляете компактную группу Ли как С U ( н ) или С О ( н ) с помощью унитарного сильно непрерывного представления вы уверены, что спектр каждой образующей и операторов Казимира дискретен, за исключением редких ситуаций, которые я опишу ниже, как следствие знаменитой теоремы Петера- Вейля .

Этот результат устанавливает, что при указанных выше предположениях представление есть прямая ортогональная сумма (а не прямой интеграл, как это бывает в общем случае) неприводимого унитарного представления конечной размерности .

В каждом инвариантном конечномерном подпространстве каждого неприводимого представления все сводится к матричному представлению , и, таким образом, спектр каждой самосопряженной образующей (которая является эрмитовой матрицей) представляет собой конечное и дискретное множество точек, а каждый собственный вектор является собственным вектором.

Суммируя все неприводимые подпредставления исходного представления, каждый образующий является суммой всех соответствующих образующих подпредставлений. (Есть некоторые математические подробности об используемых доменах и топологии, используемой в сумме, но они здесь совершенно неуместны).

Операторы Казимира представляют собой сумму соответствующих (постоянных) операторов Казимира в каждом неприводимом подпредставлении. Спектр есть замыкание объединения спектров . Возможные добавленные точки к простому объединению дискретных точек являются единственными возможными точками непрерывного спектра общего представления и являются просто точками накопления (если таковые имеются) указанного объединения.

Да, я чувствую, что вы поняли вопрос: это именно то, что я хотел знать. Конечно, мы можем сказать, что ключевым моментом является то, что группа компактна, верно? (группа Пуанкаре, будучи некомпактной, имеет Казимира с непрерывным спектром, верно?). И последний вопрос, если позволите: правда ли вообще, что, скажем, для U ( 1 ) симметрии заряды идут парами положительный/отрицательный? (т.е. если д является собственным значением, поэтому − д ). Я считаю, что это верно, если у нас есть оператор зарядового сопряжения, но это зависит от «больших групповых преобразований», а не только тех, которые связаны с 1. Верно ли это в любом случае?
Да, компактность - ключевой момент. Группа Пуанкаре имеет оператор Казимира с непрерывным спектром. Что касается вашего последнего вопроса, чтобы иметь пару частиц с противоположными зарядами, вам также нужна симметрия зарядового сопряжения в наборе симметрий вашей системы.
Общий анализ внутренних симметрий в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v