Были ли замечания Гаусса 1846 года о различии между правым и левым связаны с ориентируемостью поверхностей?

Краткий ответ на вопрос заголовка, скорее всего, да. В ОП обсуждаются два отдельных вопроса: один более философский, связанный с разногласиями Гаусса с априоризмом Канта в отношении пространства, а другой касается его понимания ориентации поверхностей и неориентируемых поверхностей. Первый вопрос в некоторой степени рассматривается в книге « Был ли Кант фактором в формировании абстрактного взгляда Гаусса на математические объекты?» , поэтому остановлюсь на втором.

Гаусс долгое время переписывался с Герлингом, по крайней мере, с 1819 года, когда он в письме к нему упомянул о дефекте суммы углов («теорема Гаусса-Бонне») для гиперболических треугольников. В то время основным предметом была неевклидова геометрия, и это подробно обсуждается в « Что Гаусс прочитал в Приложении?». Абардиа, Ревентос и Родригес (ссылка на Приложение Бойяи от 1832 г.). Вопросы, связанные с тем, что Гаусс назвал теоремой эгрегиума (инвариантность кривизны относительно изометрий), обсуждаются в письмах Шумахеру 1825 года. Знаменитая работа Гаусса по геометрии искривленных поверхностей Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas вышла в 1827 году. Его соответствующие работы по этому вопросу, как опубликованные, так и неопубликованные, подробно обсуждаются в150 лет спустя после « Disquisitiones generales circa superficies curvas » Гаусса Домбровского . Домбровский цитирует неопубликованный черновик Disquisitiones Generales 1825 года , который показывает, что Гаусс обладал концепцией ориентации поверхности в 1825 году (и, возможно, уже в 1794 году). В его модернизированном «вольном переводе»:

« Сумма углов (малого) геодезического треугольника Δ на криволинейной поверхности в$\mathbb{E}^3$равна сумме π и ориентированной площади поверхности сферического изображения Δ, где ориентированная площадь считается положительной или отрицательной в зависимости от того, обвивается ли граница сферического изображения Δ вокруг изображения в том же направлении или в противоположном направлении, поскольку граница Δ обвивается вокруг Δ. (57)

Затем Гаусс обобщает его на геодезические многоугольники. Домбровский обсуждает контекст и предполагает, что Гаусс пришел к общему утверждению для искривленных поверхностей гиперболическим случаем в сочетании с его практическим опытом геодезических измерений в 1812–1822 годах:

Результат (57) был уже широко известен в частном случае развертывающейся или сферической поверхности. Гаусс обладал результатом, аналогичным (57) для гиперболической геометрии (а значит, существенно и для поверхностей постоянной отрицательной кривизны, авт.) уже в 1794 г. (см. GW 8, стр. 266) и сообщил об этом Герлингу в письме в 1819 г. (см. GW 8, стр. 182).Поэтому легко представить, что Гаусс пришел к геометрически интуитивному «пониманию» относительно справедливость (57) для общего случая поверхности непостоянной гауссовой кривизны исходя из знания этого фундаментального случая и на основе его богатого дифференциально-геометрического опыта в геодезии (с геодезическими и тригонометрическими сфероидами, но и с вопросами отображение и изгиб), полученные в 1812-1822 годах.

[...] Хотя Гаусс интенсивно изучал понятие «ориентированной площади поверхности», использованное им в (57) (см. GW 8, стр. 398, строка 2 снизу), он не думал, что его соответствующие исследования имели достаточно "созрел"... Доказательство (с его столь впечатляющими геометрическими аргументами, которые мы только что восстановили из фрагмента (55)) так и не было опубликовано Гауссом! Причина этого кроется, с одной стороны, безусловно, в его самокритике собственного вышеупомянутого наброска доказательства (57) и, в частности, его концепции «ориентированной поверхности сферического изображения на искривленной поверхности» ( в этом доказательстве), которые он не определил с обычно применяемой им аналитической строгостью. "

Этот результат приводит к теореме эгрегиума , обсуждавшейся в 1825 г. в письмах к Шумахеру. Сама теорема Гаусса-Бонне поднимается в письме Герлингу от 10 октября 1846 г. (перевод Домбровского):

« Теорема, которую упомянул вам г-н Швейкарт, о том, что в любом еометре сумма всех внешних углов многоугольника отличается от 360 на величину,..., которая пропорциональна площади поверхности, есть первая теорема, лежащая почти на порог этой теории, теорема, необходимость которой я признал еще в 1794 г. ».

Так что появление вопросов ориентации в письмах Герлингу и Шумахеру в 1846 г. (связанных с более старыми темами его соглашений и разногласий с Кантом) неудивительно.

Что касается неориентируемых поверхностей, то здесь вопрос гораздо более туманный. «Лента Мёбиуса» описана в частных бумагах Листинга и Мёбиуса в 1858 году почти одновременно и в аналогичных терминах, описание Листинга на несколько месяцев раньше. Гаусс умер в 1855 году, но оба были учениками Гаусса, и многие историки приписывают Гауссу многие топологические идеи Листинга. Сам Листинг что-то говорил по этому поводу, хотя и без конкретики. Биггс в своей главе в Мебиусе и его группе прямо предполагает, что Гаусс мог быть здесь общим источником, но признает, что проблема неразрешима:

Оба они описывают конструкцию в очень сходных терминах. Является ли это еще одним из тех случаев, которые иногда случаются в научных открытиях, когда идея, срок которой созрел, появляется независимо в разных местах, но в одно и то же время? Это, безусловно, возможно. Или была общая причина того, что и Мёбиус, и Листинг описали ленту Мёбиуса примерно в одно и то же время?Если последнее, то велика вероятность, что общая причина была связана с работой Гаусса, который, как мы знаем, был очень интересовался этим видом или темой. Гаусс умер в 1855 году, поэтому идея не могла быть передана им напрямую, но возможность какой-то связи с его работами остается. Я сомневаюсь, что вопрос когда-либо будет полностью решен" .