Общее уравнение пятой степени не может быть решено с помощью радикалов и показано в знаменательной и далеко идущей работе Галуа 1832 года, которая стала образцом современной теории групп и теории Галуа. Однако общее уравнение квинтики можно привести к радикальной форме Бринга (с помощью преобразования Чирнхауса), и эту форму квинтики можно каким-то образом решить, используя идеи из теории эллиптических функций. Я действительно не знаком с этими материалами, поэтому и задаю этот вопрос.
Согласно тому, что я читал, Эрмит основывал свою конструкцию на результатах Якоби и замечаниях самого Галуа (в последней статье Галуа) — эти результаты касаются так называемой «проблемы преобразования эллиптических интегралов»; ан Преобразование эллиптического интеграла го порядка приводит к модульному уравнению, которое на самом деле является полиномиальное уравнение й степени от двух переменных, и эти переменные каким-то образом связаны с эллиптическим интегралом. Эрмит основывал свое доказательство на преобразование Якоби 1-го порядка.
Для полноты исторического рассуждения, согласно п.4 книги "Многогранники Гессе, инвариантная теория и гипергеометрические функции Аппеля", преобразования 3,5 и 7-го порядка были известны Гауссу с 1808 г., а по другому источнику Гауссу также сделал несколько очень важных замечаний по проблеме преобразования любого нечетного порядка.
Поэтому мои вопросы носят как объяснительный, так и исторический характер:
В общем, преобразование эллиптических интегралов (или дифференциалов) - это нахождение алгебраических решений. дифференциального уравнения
Впервые такое преобразование было открыто Ланденом в 1775 году, и оно называется преобразованием Ландена . Независимо оно было открыто Гауссом в 1790 г. при изучении среднего арифметико-геометрического (ранее изученного Лагранжем в 1785 г.). Но, как обычно, вся заслуга в том, к чему он прикасался, достается Гауссу.
Теория преобразований приводит к определенным алгебраическим уравнениям, называемым классическими модулярными уравнениями , которые Эрмит использовал для решения пятой части.
Подробности можно прочитать в книге Клейна "Лекции по икосаэдру и решение уравнения 5-й степени". Для современного изложения вы можете обратиться к книге Джонатана и Питера Борвейн, Пи и AGM.
Оригинальные документы: Hermite CR 46 (1858) 508-515. Кронекер (упрощенное доказательство): CR 46 (1858) 1150-1152.
Обобщение на уравнения произвольной степени: Х. Умемура, Решение алгебраических уравнений с тета-константами, Приложение I к книге Д. Мамфорда, Тата-лекции по тета-константам, 1983.
Конифолд