Частота среза

Игнорируя странно нарисованный источник напряжения и глядя только на пассивную цепь с выходом на «верху» резистора R, мы имеем здесь полочный фильтр верхних частот.

При нулевой частоте конденсатор представляет собой разомкнутую цепь, а цепь представляет собой просто резистивный делитель напряжения с коэффициентом усиления$\frac{1}{11}$.

На «бесконечной» частоте конденсатор представляет собой короткое замыкание, а выход равен входу (коэффициент усиления равен 1).

Таким образом, этот фильтр имеет более низкую нулевую частоту (где усиление начинает увеличиваться) и более высокочастотный полюс (где усиление выравнивается). В векторной области передаточная функция имеет вид:

$\dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{1}{11}\dfrac{1 + j\omega 10RC}{1 + j \omega \frac{10}{11}RC}$

Итак, ноль находится на$f_z = \dfrac{1}{2 \pi 10RC}$и полюс находится в$f_p = \dfrac{11}{2\pi 10RC}$

Простите, не подскажете, почему при осмотре видно fp и fz?

Напишем передаточную функцию в комплексной частотной области ( область s или Лапласа ):

$\dfrac{V_{out}}{V_{in}} = \dfrac{1}{11}\dfrac{1 + s10RC}{1 + s\frac{10}{11}RC}$

Теперь эта передаточная функция имеет нуль , где числитель равен нулю. Чтобы найти, где это происходит, найдите значение s , где знаменатель равен нулю.

$1 + s10RC = 0 \rightarrow s_z = \dfrac{-1}{10RC}$

Таким образом, эта передаточная функция имеет один нуль в левой плоскости (LHP).

Передаточная функция имеет полюс , где знаменатель равен нулю (там передаточная функция «бесконечна»).

$1 + s\frac{10}{11}RC = 0 \rightarrow s_p = \dfrac{-11}{10RC}$

Таким образом, эта передаточная функция имеет один полюс LHP.

Отсюда терминология ноль и полюс . Итак, как я могу получить из «осмотра» полюс и нулевую частоту из исходной передаточной функции?

Нулевая (полюсная) частота - это когда действительная и мнимая части числителя (знаменателя) равны. Поскольку действительная часть равна 1, мы можем увидеть, проверив частоту, где мнимая часть равна 1.

Для фильтров более высокого порядка необходимо выразить числитель и знаменатель как произведения таких терминов, как$(1 + j\dfrac{\omega}{\omega_1})$чтобы считать нулевую и полюсную частоты, как я сделал здесь.

Этот невинно выглядящий ублюдок на самом деле отличный вопрос для интервью.

Сначала попробуем интуитивный подход:

Мы знаем, что параллельный RC — это фильтр нижних частот. Если R2 (заземляющий резистор) удалить - вы получите обычную кривую верхних частот RC (для тока). Это означает, что если вы заземлите другой конец параллельной RC-цепи, то вы получите максимальный ток на высоких частотах.

Теперь вы можете подумать следующее: «Хорошо, значит, параллельный RC — это простой фильтр высоких частот для тока, поэтому, если я поставлю туда резистор (R2), я получу простой фильтр верхних частот и для напряжения». Проблема в том, что напряжение, развиваемое на R2, теперь мешает напряжению на параллельном RC - чем больше напряжение падает на R2, тем меньше напряжение на параллельном RC (своего рода отрицательная обратная связь). Именно это взаимодействие делает ваш прогноз частоты среза неверным.

Теперь пришло время для уравнений:

Чтобы узнать текущую характеристику, нам нужно рассчитать комплексное сопротивление всей сети и получить его действительную часть по величине. Приравнивая квадрат магнитуды к 0,5, можно найти частоту среза:

Я попытался использовать Wolfram, чтобы найти решение для$\omega$в общем случае, но это не удалось. Затем я попытался уменьшить количество символов, предположив, что R1=10R2, и это удалось. Однако ответ, который я получил, выглядит подозрительно нефизическим (если только кто-нибудь не объяснит мне значение комплексной частоты). Может кто найдет ошибку?

ПРИМЕЧАНИЕ 1: даже если этот подход сработает, и вы найдете частоту 3 дБ, вопрос в том, что это за фильтр. На высоких частотах конденсатор ведет себя как короткое замыкание, поэтому выходное напряжение будет равно входному напряжению. Вывод: странно себя ведет ФВЧ.

ПРИМЕЧАНИЕ 2: поведение верхних частот также может быть получено из общего уравнения для величины импеданса — замените бесконечность на$\omega$и вы получите R2 как импеданс.

Я думаю, вы неправильно понимаете, что делает эта схема. У него нет простой частоты среза, потому что в спектре есть две точки, в которых происходят важные изменения в характеристике усиления.

При постоянном токе коэффициент усиления составляет 1/11, и он останется таким до тех пор, пока импеданс C не начнет уменьшаться, чтобы соответствовать (из-за повышения частоты) величине сопротивления 10R. Здесь будет первая точка «3 дБ», и усиление для более высоких частот начнет расти.

Он будет продолжать расти, пока не начнет выравниваться, и признанная точка «3 дБ» для этого - это когда импеданс C падает до уровня R. Отсюда, по мере увеличения частоты, усиление начинает становиться равным единице.

Таким образом, есть две формулы для двух отдельных точек спектра; одна зависит от 10R и одна зависит от R. Эти точки описываются формулой в вашем уравнении, но будет два уравнения; один, содержащий R, и один, содержащий 10R. Если значения резисторов ближе друг к другу по значению (чем соотношение 10: 1 в вашем вопросе), две точки на кривой начнут сливаться, и я без колебаний решил бы это ленивым способом с помощью симулятора схемы: -

Чтобы фактически рассчитать частоту среза / спада / угла -3 дБ, недостаточно вычислить полюса и нули, как в принятом ответе. Вам предстоит сделать то, что Василий начал делать, но так и не закончил. Я сделал это для аналогичного вопроса . Сначала передаточная функция для

(игнорируйте числовые значения там) является делителем напряжения$R_1||\frac{1}{sC}$с падением$R_2$как измерение так

$$H(s) = \frac{R_2}{R_2+\frac{1}{\frac{1}{R_1}+sC}} = \frac{R_2+CR_1R_2s}{R_1+R_2+CR_1R_2s}$$

Если вы действительно сделаете это$R_2 = R$и$R_1 = 10R$вы получите ту же передаточную функцию, что и в ответе Альфреда. Однако, чтобы точно рассчитать частоту спада/угла/среза -3 дБ , вам нужно сначала вычислить квадрат усиления как произведение передаточной функции с ее [комплексным] сопряжением, что здесь дает:

$$(G(j\omega))^2 = H(j\omega)\overline{H(j\omega)} = \frac{R_2+j\omega CR_1R_2}{R_1+R_2+j\omega CR_1R_2} \frac{R_2-j\omega CR_1R_2}{R_1+R_2-j\omega CR_1R_2} = \\ = \frac{R_2^2 + (CR_1R_2\omega)^2}{(R_1+R_2)^2+(CR_1R_2\omega)^2}$$

Теперь приравниваем этот квадрат усиления к 1/2 и находим омега- урожайность:

$$\omega = \frac{\sqrt{R_1^2+2 R_2 R_1-R_2^2}}{C R_1 R_2} = \frac{1}{C R_2}\sqrt{2-\Big(\frac{R_2}{R_1}-1\Big)^2}$$

Обратите внимание, что это выражение очень похоже на решение для фильтра верхних частот с неидеальной катушкой индуктивности . Кроме того, если$R_1$бесконечен (т. е. не существует), то вы получите классический результат для фильтра верхних частот RC. И, наконец, как несколько правильно отмечает @Andy, понятие частоты спада не всегда четко определено для этой схемы/формулы; точнее, это понятие имеет смысл (и приведенное выше решение реально), когда$R_2 < (1+\sqrt{2})R_1$; это условие фактически выполняется в схеме из условия задачи, однако, если вы [скажете] уменьшите$R_1$слишком много, то нет ни одной точки, где усиление падает до -3 дБ. Вот подтверждение в симуляции того, что происходит на границе$R_2 = (1 + \sqrt{2}) R_1 \approx 2.42 R_1$):

Наконец, обратите внимание, что в формуле частоты спада -3 дБ резисторы на самом деле не параллельны с точки зрения формулы, в которой они появляются. Поскольку я вижу, что простой метод графика Боде (полюса и нули) продолжает получать голоса, стоит сравнить два предсказания.

Аппроксимируя частоту спада с частотой полюса (что, как вы должны помнить, в целом является лишь приближением), прогноз состоит в том, что частота -3 дБ находится просто на полюсе, который (игнорируя знак LHP) равен:

$$\omega_p = \frac{1}{C( R_1||R_2)} = \frac{1}{CR_2}\frac{R_1+R_2}{R_1} = \frac{1}{CR_2}\Big({1+\frac{R_2}{R_1}}\Big)$$

(Если вы подставите значения резисторов, вы получите ту же формулу, что и у Альфреда.)

Если вы обозначите$R_2/R_1$как$x$, вы увидите, что аппроксимация полюса для частоты -3 дБ хороша только в окрестности$x = 0$(т.е. когда$R_1$стремится к бесконечности). Для этой проблемы вы по существу приближаетесь$\sqrt{2-(x-1)^2}$с$1+x$когда вы используете частоту полюса в качестве частоты спада -3 дБ.