Чем физически отличаются метрика FRW и метрика Минковского?

Чтобы решить, связаны ли две метрики изменением системы отсчета и/или преобразованием координат, называется проблемой эквивалентности . Ее можно решить с помощью алгоритма Картана-Карлхеде .

Учитывая метрику$g$выражается в некоторых координатах$x_i$, алгоритм вычисляет набор инвариантно определенных инвариантов кривизны, выраженных как функции$x_i$. Например, скалярная кривизна$R = R(x_i)$. Чтобы решить, эквивалентны ли две метрики , вычислите этот набор для обеих метрик и рассмотрите набор уравнений

$$\begin{align*} R(x_i) & = R'(y_i) \\ \Psi_1(x_i) & = \Psi_1'(y_i) \\ & \vdots \end{align*}$$ где штрихованные величины относятся ко второй метрике, которая выражается в координатах $y_i$. (Полный набор уравнений обычно намного больше, но также обычно многие уравнения $0 = 0$.)

Если вы можете решить для$y_i$как функции$x_i$или наоборот (или просто показать, что решение существует), вы установили эквивалентность метрик. Если ясно, что решения не существует (например, одно из уравнений может быть$1 = 0$) метрики не эквивалентны.

---

Для частного случая метрики FLRW по сравнению с метрикой Минковского одно из уравнений имеет вид $$0 = (k + \dot{a}^2)$$ где $k$и $a$количества, которые появляются в элементе строки FLRW, а другое $$0 = k+\dot{a}^2 + a\ddot{a}$$ Сочетая это, должно быть, что $a$является константой и $k = 0$. Это соответствует метрике Минковского с пространственной частью, выраженной в сферических координатах с масштабированием радиальных координат в множитель $a$относительно друг друга.

К этому выводу можно прийти и из уравнений Фридмана . Для метрики Минковского$\rho - \Lambda / \kappa = p + \Lambda / \kappa = 0$а из уравнений Фридмана следует$k = 0$,$a$постоянный.

Нет смысла требовать этого$dx' = a(t)\ dx$. Предположим, что ваше преобразование координат имело вид$x' = x'(x)$. Тогда у вас было бы$dx' = \frac{dx'}{dx}\ dx$, но$\frac{dx'}{dx}$должна быть функцией$x$только так и быть не могло$a(t)$. Теперь предположим, что мы попытались исправить это, выполнив преобразование$x' = x'(x,t)$. Сейчас$dx' = \frac{\partial x'}{\partial x}\ dx + \frac{\partial x'}{\partial t}\ dt$, и мы получаем$dt$термин, который все испортит. Таким образом, предлагаемое вами преобразование координат на самом деле не является таковым.

Мораль здесь заключается в том, что определение преобразования путем запроса соответствующего преобразования дифференциалов гарантированно работает только тогда, когда каждый раз задействована одна переменная. Например, если по какой-то причине вам нужна новая координата$x'$такой, что$dx' = x^2\ dx$, то вы можете просто интегрировать, чтобы найти$x' = \frac13 x^3$. Но в вашем случае, если вы собираетесь требовать этого$dx' = f\ dx + g\ dt$где оба$f$и$g$зависит от$(x,t)$и здесь)$g=0$, то это реализуемо только в том случае, если$\partial_x g = \partial_t f$, что неверно в предлагаемом вами преобразовании.