6 независимых уравнений поля Эйнштейна?

Я не могу понять комментарий на странице 409, Гравитация, написанный Мизнером, Торном, Уилером.

Отсюда следует, что десять компонентов г α β "=" 8 π Т α β уравнения поля не должны полностью и однозначно определять все десять компонент г мю ν метрики.

На даче, г α β "=" 8 π Т α β должны накладывать только шесть независимых ограничений на десять г мю ν ( п ) , оставляя четыре произвольные функции, которые можно настроить за счет специализации человека четырех координатных функций. Икс α ( п ) .

Я не могу этого понять. Я думаю, что мы всегда можем решить уравнение поля с соответствующими начальными/граничными условиями, чтобы получить уникальное г мю ν . Ведь это всего лишь дифференциальные уравнения второго порядка. Чтобы быть конкретным, позвольте мне попытаться построить контрпример, вакуумное уравнение Эйнштейна,

г мю ν "=" 0
Если применить начальные условия г мю ν | т "=" 0 "=" η мю ν и г ˙ мю ν | т "=" 0 "=" 0 , очевидно, плоское пространство-время г мю ν "=" η мю ν должно быть решением. Если решение г мю ν уникален, каково альтернативное решение?

Если существует альтернативное решение, то исходит ли оно из «специализации четырех координатных функций»?

Обновление : user23660 создал явное альтернативное решение, которое

г 00 "=" ( ф ′ ( т ) ) 2 , г я Дж "=" − дельта я Дж
с другими компонентами, равными нулю.

Функция ф нужно только удовлетворить ф ′ ( 0 ) "=" 1 , ф ″ ( 0 ) "=" 0 , что делает эту метрику совместимой с исходными данными; кроме этого, это совершенно произвольно! И мы видим, что это происходит от преобразования координат т "=" ф ( т )

Чтобы решение было η мю ν , нам нужно наложить дополнительные ограничения на метрику непосредственно в этой системе координат, например г 00 "=" 1 , г 0 я "=" 0 .

Эти избыточные степени свободы (калибр) являются результатом сокращенного тождества Бьянки, как объяснено в следующем абзаце на странице 409 MTW,

г α β ; β "=" 0
выполняется автоматически, поэтому уравнение движения полей материи Т α β ; β "=" 0 на самом деле не накладывает ограничений на развитие метрики. Следовательно, независимых уравнений всего 6!

Я прочитал этот вопрос (v2) 3 раза и должен признать, что мне до сих пор неясно, в чем заключается ваше замешательство.
@joshphysics, извините, может быть, это неправильно сформулировано. Мой вопрос простыми словами: можно определить г мю ν однозначно с помощью уравнения Эйнштейна? MTW заявляет, что мы не можем ⟹ должно быть альтернативное решение для моего конкретного примера, что это такое?
Как насчет решения Шварцшильда? Разве это не решение проблемы г мю ν "=" 0 ? Извините, я думаю, что я, как и @joshphysics, не в состоянии понять ваше замешательство.
@Prahar, решение Шварцшильда не удовлетворяет начальному условию г мю ν | т "=" 0 "=" η мю ν "=" ( − 1 , 1 , 1 , 1 )
@josphysics, я перефразировал свой вопрос. Извините, в голове что-то расплывчато, и я не могу ясно выразить словами.
Конечно, подходящие начальные/граничные условия будут определять единственное решение. Это не то, о чем они говорят. Они говорят, что в каком-то смысле десять уравнений не являются независимыми, есть скрытые отношения, а на самом деле независимых уравнений всего шесть. Я, конечно, упрощаю вещи. Следующие два абзаца, как и предыдущий, дают некоторое пояснение. Я бы сказал, не волнуйтесь слишком много.
@MBN, скрытые отношения заключаются в личности Бьянки, как указано в следующем абзаце; но я не понимаю, почему это связано с преобразованием координат.
эти 4 степени свободы связаны с изменениями в координатах локальной системы отсчета. Помните, что если вы вращаете свой вербейн от точки к точке, у вас остается то же физическое пространство, но координаты обозначаются по-разному.

Ответы (1)

Конечно, метрика η мю ν не является уникальным решением вакуумных уравнений Эйнштейна, совместимым с вашими исходными данными. И да, мы можем интерпретировать альтернативы как возникающие из координатных функций.

Возьмем простейшую из таких функций: переопределить время, введя новую переменную «время». т через отношение т "=" ф ( т ) (пространственные координаты сохраним). Метрика в новых координатах ( т , Икс , у , г ) было бы

г с 2 "=" ( ф ′ ( т ) ) 2 г т 2 − дельта я Дж г Икс я г Икс Дж .
Очевидно, это другой показатель . И, выбрав функцию ф удовлетворяющие некоторым простым условиям ( ф ( 0 ) "=" 0 , ф ′ ( 0 ) "=" 1 , ф ″ ( 0 ) "=" 0 ) эта метрика будет совместима с вашими исходными данными.

Но в то же время столь же очевидно, что эта метрика по-прежнему соответствует тому же самому пространству-времени - пространству-времени Минковского (по крайней мере, локально).

Дополнение . Чтобы сделать решение уравнений Эйнштейна уникальным, можно использовать координатные условия (аналогичные условиям фиксирования калибровки в ЭМ-теории). Они работают как ограничения на метрику, наложенные в дополнение к уравнениям Эйнштейна.

Также, если вас интересуют исходные данные — формулировка эволюции во времени общей теории относительности, рекомендую взглянуть на формализм ADM .

спасибо за ответ. Вы доказываете, что г "=" г мю ν г Икс мю г Икс ν не уникален. Но если мы ограничим систему координат ( т , Икс , у , г ) , как вы думаете, решение отдельных компонентов г мю ν уникальны или нет?
Смотрите дополнение. Чтобы ограничить преобразование координат из моего примера только для создания η мю ν вы можете потребовать, чтобы координаты были синхронными . Но это условия на метрику: г 00 "=" 1 , г 0 я "=" 0 , а не только координаты.
Это именно то, что я спрашиваю. Поэтому, если я не накладываю ограничений на метрику (т.е. не указываю калибр), а использую ( т , Икс , у , г ) координировать, чтобы выразить мое решение в конце концов, это решение уникально? Решение, которое вы дали в ( т , Икс , у , г ) координата такая же, как η мю ν если выразить в ( т , Икс , у , г ) система координат.
Для калибровочного условия в E&M я могу изменить векторный потенциал А → к А → + ∇ Λ без порчи исходных данных и уравнений: это лишние степени свободы, т.е. калибровка. Но как в таком случае изменить г мю ν быть функцией час мю ν в той же системе координат, которая решает уравнение с той же начальными условиями?
«Указание координат» без метрики — это просто топология, поэтому локальные координаты всегда будут частью р 4 , ограничений на метрику нет, поэтому нет η мю ν в этом случае не уникален.
В зависимости от Λ , калибровочное преобразование может изменить исходные данные. Таким образом, в ОТО общие преобразования координат могут сделать исходные данные недействительными, но если мы ограничим их, чтобы сохранить их неповрежденными, они приведут к другим решениям. И, конечно же, преобразования координат сохранят ту же форму уравнений, что и общая ковариация.
Я согласен, что локально это всегда р 4 , нет ограничений на метрику локально, математически все эти метрики в матричных формах связаны конгруэнтным преобразованием. Обратите внимание, что мои начальные условия накладывают ограничения на глобальную метрику, что должно сделать эволюцию метрики уникальной в этой системе координат. Так каково же альтернативное решение в этой системе координат, если не единственное?
6 независимых уравнений поля Эйнштейна?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v