Инвариантность диффеоморфизма и геодезическое действие

Question

Инвариантность диффеоморфизма и геодезическое действие

Вустер

Я пытаюсь понять роль диффеоморфизма и инвариантности изометрии в геодезическом действии в ОТО:

С "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} д т г_{а б} (Икс (т)) \frac{д {Икс}^{а}}{д т} \frac{д {Икс}^{а}}{д т}

$S = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \! d\tau~ g_{ab}(x(\tau)) \frac{dx^a}{d\tau} \frac{dx^a}{d\tau}$

Теперь, если мы преобразуем координаты с помощью $y = y(x)$ и применить обычные законы преобразования метрического и касательного векторов, чем ясно, что

л "=" г_{а б} (Икс (т)) \frac{д {Икс}^{а}}{д т} \frac{д {Икс}^{а}}{д т}

$L = g_{ab}(x(\tau)) \frac{dx^a}{d\tau} \frac{dx^a}{d\tau}$ преобразуется как скаляр.

Я сбит с толку, потому что мы можем в равной степени рассматривать это изменение координат как «активный» диффеоморфизм. $\phi: M \to M$ и тогда утверждение о том, что действие преобразуется как скаляр, состоит в том, что геодезические отображаются в геодезические при произвольном диффеоморфизме. Однако я ожидаю, что это неверно, это должно быть верно только для таких диффеоморфимов, что $\phi^* g = g$ то есть изометрии.

Я хотел бы понять, как мы можем правильно просмотреть преобразование действия и увидеть, что геодезические сохраняются только при изометриях (скажем, однопараметрических изометриях, порожденных векторным полем $\xi^a$ ), а не при общих диффеоморфизмах. Я полагаю, что должно быть возможно показать, что это действие сохраняется при однопараметрической группе диффеоморфизмов (порожденной $\xi^a$ ) если и только если $\xi^a$ убийство?

В частности, мне интересно понять, как правильно применить преобразование к $S$ (активный или пассивный), что соответствует изометрии? И понимание различия между изометрией и диффеоморфизмом как в активном, так и в пассивном изображении, т. е. если мы можем рассматривать каждый диффеоморфизм как карту тождества в пассивном изображении, то, хотя это явно неверно, в данный момент мне кажется, что всякое диффеоморфизм - это изометрия - я хотел бы понять, почему это не так.

Любопытный Разум

Возможный дубликат «Роль активной и пассивной инвариантности диффеоморфизма в ОТО».

Любопытный Разум

См. ответ твистора — в активном pov по изменению координат приходится тянуть метрику по диффеоморфизму и использовать результат как метрику после нового преобразования . Он отображает геодезические в старой метрике в геодезические в новой метрике , но это не изометрия

(M, g)

$(M,g)$ самому себе, как диффеоморфизмы, порожденные полями Киллинга.

Вустер

Ответ Твистора великолепен, однако я действительно пытаюсь понять детали этого в конкретном случае действия и разницу между диффеоморфизмом и изометрией (в этом ответе нет речи о полях Киллинга), вот где я м изо всех сил. Что вы подразумеваете под перетаскиванием метрики в этом случае?

Вустер

Вы говорите, что

g_{a b} (x)

$g_{ab}(x)$ должен просто стать

g_{a b} (y)

$g_{ab}(y)$ ? В ответе Твистора также, похоже, есть проблема, заключающаяся в том, что новая метрика при активном диффеоморфизме должна быть записана в той же координатной основе, т.е.

d x

$dx$ и не

d X

$dX$ .

Ответы (1)

Инвариантность диффеоморфизма и геодезическое действие

Возможный дубликат «Роль активной и пассивной инвариантности диффеоморфизма в ОТО».
См. ответ твистора — в активном pov по изменению координат приходится тянуть метрику по диффеоморфизму и использовать результат как метрику после нового преобразования . Он отображает геодезические в старой метрике в геодезические в новой метрике , но это не изометрия $(M,g)$ самому себе, как диффеоморфизмы, порожденные полями Киллинга.
Ответ Твистора великолепен, однако я действительно пытаюсь понять детали этого в конкретном случае действия и разницу между диффеоморфизмом и изометрией (в этом ответе нет речи о полях Киллинга), вот где я м изо всех сил. Что вы подразумеваете под перетаскиванием метрики в этом случае?
Вы говорите, что $g_{ab}(x)$ должен просто стать $g_{ab}(y)$ ? В ответе Твистора также, похоже, есть проблема, заключающаяся в том, что новая метрика при активном диффеоморфизме должна быть записана в той же координатной основе, т.е. $dx$ и не $dX$ .

ззз · Answer 1

Общий диффеоморфизм не отображает геодезические в геодезические. Несколько простых примеров счетчиков

Вы можете построить диффеоморфизм на евклидовой плоскости, представив, что кладете палец на скатерть в точке $x$ и перетаскивая его. Эта карта явно гладкая, гладкая обратная строится путем перетаскивания пальца назад. Любая геодезическая на плоскости (прямая), проходящая через точку $x$ непременно будет отображена на какую-то странную кривую, уже не являющуюся геодезической на плоскости.
Рассмотрим верхнюю полуплоскость $\mathbb E^+ \equiv \mathbb R^+ \times \mathbb R$ , с евклидовой метрикой. Рассмотрим полуплоскость Пуанкаре $\mathbb H^2$ с гиперболической метрикой. Между ними существует очевидный диффеоморфизм — тождественная карта. Под картой идентичности прямые линии сопоставляются с... ну, самими собой. Таким образом, геодезические на плоскости не отображаются в геодезические на гиперболической плоскости при этом диффеоморфизме.

В частности, инвариантность геодезического функционала к диффеоморфизму, которую вы (в значительной степени) правильно показали, определенно не означает, что геодезические отображаются в геодезические. Итак, давайте посмотрим, что это на самом деле означает.

Диффеоморфизмы не отображают геодезические в геодезические.

Позволять $M$ будь нашим многообразием. Позволять $g$ быть римановой метрикой на $M$ . Позволять $S_g$ обозначим функционал энергии (который вы записали) с помощью метрики $g$ . То есть пусть $\gamma: [0, 1] \to M$ быть гладкой кривой,

С_{г} [γ] \equiv \int_{[0, 1]} г_{γ (т)} (γ^{'} (т), γ^{'} (т)) д т

$S_g[\gamma] \equiv \int_{[0, 1]} g_{\gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau$

Вы обнаружили (вычисляя в локальных координатах), что это инвариантно относительно диффеоморфизма $\phi: M \to M$ . Это заявление гласит

\int_{[0, 1]} г_{γ (т)} (γ^{'} (т), γ^{'} (т)) д т "=" \int_{[0, 1]} г_{ф \circ γ (т)} (ф_{*} γ^{'} (т), ф_{*} γ^{'} (т)) д т

$\int_{[0, 1]} g_{\gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau=\int_{[0, 1]} g_{\phi \circ\gamma(t)}(\phi_*\gamma'(\tau), \phi_*\gamma'(\tau))d\tau$

RHS можно переписать в терминах метрики отката.

\int_{[0, 1]} г_{ф \circ γ (т)} (ф_{*} γ^{'} (т), ф_{*} γ^{'} (т)) д т "=" \int_{[0, 1]} ф^{*} г_{ф \circ γ (т)} (γ^{'} (т), γ^{'} (т)) д т

$\int_{[0, 1]} g_{\phi \circ\gamma(t)}(\phi_*\gamma'(\tau), \phi_*\gamma'(\tau))d\tau = \int_{[0, 1]} \phi^*g_{\phi \circ \gamma(t)}(\gamma'(\tau), \gamma'(\tau))d\tau$

Сравнивая с нашим определением $S_g$ , то что вы показали

С_{г} [γ] "=" С_{ф^{*} г} [ф \circ γ]

$S_g [\gamma]= S_{\phi^*g}[\phi \circ \gamma]$

В частности, это означает, что для частного случая у вас есть кривая $\gamma$ что сводит к минимуму $S_g$ внутри вариационного семейства кривых:

γ сводит к минимуму С_{г} ⟹ ф \circ γ сводит к минимуму С_{ф^{*} г}

$\text{ $\gamma$ minimizes $S_g$ } \implies \text{ $\phi\circ\gamma$ minimizes $S_{\phi^*g}$}$

Замечать это не значит $\phi \circ \gamma$ является геодезической для метрики $g$ . Это говорит $\phi \circ \gamma$ является геодезической для (вообще говоря, другой) метрики $\phi^*g$ . Поэтому общий диффеоморфизм не отображает геодезические в геодезические.

Изометрии делать!

Теперь заметьте, что существует особый случай, когда $\gamma$ на самом деле сопоставляется с геодезической $g$ . А именно, когда у нас есть

ф^{*} г "=" г ⟹ С_{г} "=" С_{ф^{*} г}

$\phi^*g = g \implies S_g = S_{\phi^*g}$

И вышеуказанное значение становится

γ сводит к минимуму С_{г} ⟹ ф \circ γ сводит к минимуму С_{г}

$\text{ $\gamma$ minimizes $S_g$ } \implies \text{ $\phi\circ\gamma$ minimizes $S_{g}$}$

Соблюдайте условие $\phi^*g = g$ это именно то утверждение, что $\phi$ является изометрией.

Инвариантность диффеоморфизма и геодезическое действие

Вустер

Любопытный Разум

Любопытный Разум

Вустер

Вустер

Ответы (1)

ззз

Чем физически отличаются метрика FRW и метрика Минковского?

Интерпретация нормальных координат

6 независимых уравнений поля Эйнштейна?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Покажите, что два семейства кривых ортогональны (без использования ортогональных траекторий).

Локально-плоские координаты и символы Кристоффеля

Построение vielbein из заданной метрики: пример: 2D сферические координаты

Символ Кристоффеля в локальной инерциальной системе отсчета

Геометрическая точка зрения на гармонические ограничения (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) в общей теории относительности

Степень свободы координат для установки метрических компонентов вдоль пространственно-временного пути