Четырехскоростной вектор света

Из «Первого курса общей теории относительности» :

2.3 Четыре скорости

Особенно важным вектором является четырехскорость мировой линии. ... В нашей четырехмерной геометрии мы определяем четырехскоростную$\vec U$быть вектором, касательным к мировой линии частицы и такой длины, что он растягивается на одну единицу времени в системе отсчета этой частицы.

Непосредственная проблема в случае фотона состоит в том, что у него нет рамки. Шутц делает это явным здесь:

2.7 Фотоны

Нет четырехскоростной . Фотоны движутся по нулевым линиям, поэтому для пути фотона

$$\mbox{d}\vec x \cdot \mbox{d}\vec x = 0$$

Поэтому$\mbox{d}\tau$равен нулю , а уравнение (2.31)$[\vec U = \mbox{d}\vec x / \mbox{d}\tau]$показывает, что 4-скорость не может быть определена. Другой способ сказать то же самое — отметить, что нет системы отсчёта, в которой свет покоится (второй постулат СТО), поэтому для фотона нет MCRF. Таким образом, нет$\vec e_0$в любой системе отсчета будет касаться мировой линии фотона.

Обратите внимание, что по-прежнему можно найти векторы, касающиеся пути фотона (который, будучи прямой линией, имеет везде одинаковую касательную):$\mbox{d}\vec x$это один. Проблема заключается в нахождении тангенса единичной величины , так как все они имеют исчезающую величину.

Итак, согласно вышеизложенному, ответ на ваш первый вопрос таков: для фотонов не определена четырехскорость .

Короткий ответ:

• Если термин «четырехскоростной» используется в строгом смысле$d x^\mu/d\tau$где$\tau$есть собственное время объекта, то четырехкратная скорость для света не определена, поскольку прошедшее собственное время всегда равно нулю ($d\tau=0$) вдоль светоподобной мировой линии.

• Если термин «четырехскоростной» используется в обобщенном смысле$dx^\mu/d\lambda$где$\lambda$является аффинным параметром, монотонно возрастающим вдоль светоподобной мировой линии, то 4-скорость совершенно точно определена для света.

Таким образом, четыре скорости либо не определены для света, либо четко определены для света, в зависимости от того, что говорящий/пишущий подразумевает под «четырьмя скоростями».

Итак, в теории относительности у нас есть эти вещи, называемые четырехвекторами. Позволять$a$— четырехвектор, то в любых заданных системах координат он имеет четыре компоненты:$a^w$в направлении времени$w=ct$,$a^{x,y,z}$в пространственном направлении.

Его квадрат величины определяется следующим образом:

$$a_\mu a^\mu = (a^w)^2 - (a^x)^2 - (a^y)^2 - (a^z)^2.$$ Когда он отрицательный, мы говорим, что четырехвектор «пространственно-подобный», когда он положительный, мы говорим, что четырехвектор «временеподобн», а когда он равен нулю, мы говорим, что он нулевой или «световой » . -нравиться." И тогда, если это похоже на пространство, мы можем либо взять нормальный квадратный корень и получить мнимое число, либо взять$\sqrt{-a_\mu a^\mu}$чтобы получить положительное число, которое мы можем назвать величиной; если это времяподобно, то нормальный квадратный корень$\sqrt{a_\mu a^\mu}$достаточно получить величину из квадрата величины. Подобно тому, как вращения сохраняют длины векторов, преобразования Лоренца сохраняют квадраты величин.

Четырехскорость является одним из этих четырехвекторов. Если мы выберем правильную систему координат так, чтобы ваша четырехкратная скорость лежала, скажем,$z$-оси, то для частиц она определяется как вектор

$$v^w = c \cosh \phi,\\ v^{x,y}=0,\\ v^z = c\sinh \phi,$$ для некоторого числа$\phi$, и это соответствует чему-то, движущемуся со скоростью$c\tanh\phi.$Эти функции, если вы еще с ними не сталкивались, являются гиперболическими функциями .

Включение этого в приведенное выше уравнение дает

$$v_\mu v^\mu = c^2(\cosh^2\phi - \sinh^2 \phi) = c^2,$$ так что 4-скорость всегда нормализована к постоянному значению , она времениподобна по величине$c$. Действительно, вы могли бы представить, что это нечетырехвекторный касательный вектор к движению частицы в пространстве-времени,$(c, 0, 0, c\tanh\phi)$, но это было нормализовано, чтобы иметь постоянную величину$c$, так что преобразования Лоренца могут сохранить эту длину.

Принимаете ли вы это нормализованное значение как часть определения четырех скоростей, это скорее эстетическое мнение, чем то, что навязывает вам математика. Но повод для беспокойства есть.

Видите ли, вы не можете нормализовать светоподобный касательный вектор в нормальную четырехкратную скорость, потому что его квадрат величины равен нулю. Итак, если у вас есть точка в пространстве-времени$(w,x,y,z) = (ct_0, x_0, y_0, z_0)$а ты добавь немного времени$dt$к этому световой луч, идущий из этой точки в$z$-направление теперь в точке$(ct_0 + c~dt, x_0, y_0, z_0 + c~dt)$и разница между этими двумя точками является четырехвектором,

$$T^w = c~dt, T^{x,y} = 0, T^z = c~dt.$$ Однако мы обнаружили бы, что$T_\mu T^\mu = 0$и нет ничего, на что вы могли бы его умножить, чтобы придать ему постоянную величину$c$.

Вы можете отреагировать на этот факт, сказав: «Это катастрофа! скажем, у света нет четырехскоростной скорости!» — или вместо этого вы могли бы ответить: «Хорошо, но на самом деле это скрытое благословение, это не означает, что нормализация невозможна, поскольку все нормализации тривиальны , я Я свободен выбирать то, что хочу!». Оба ответа имеют некоторые достоинства. Я лично склоняюсь к первому по следующей причине: мой внутренний выбор для второго состоит в том, чтобы нормализовать светоподобный касательный вектор как$(c, 0, 0, c)$, так что временная составляющая постоянна. Но с этой нормализацией есть проблема: преобразование Лоренца ее не сохранит . Это правильно преобразует вектор, но мне также придется перенормировать его в новом контексте. Лично мне этот аспект не очень нравится.

С учетом сказанного иногда есть причины для этого. Проще всего было бы, если бы вы подумали о том, как выглядит Вселенная, когда вы движетесь по ней: вы бы привлекли нулевые лучи от всех звезд, которые можете видеть в эту самую секунду, к своему лицу: и тогда было бы неплохо проецировать все это так, как если бы оно исходило из сферы фиксированного радиуса$R$что вы оказались в центре: «небесной сферы». По сути, это та же самая нормализация, которую я описал выше, когда зафиксировал временную составляющую на фиксированное значение.$c$. Затем вы можете выполнить ускорение Лоренца в каком-то направлении, чтобы сфера сопоставлялась с какой-то другой сферой, и вы могли бы спроецировать новую сферу обратно на новую сферу фиксированного радиуса.$R$, обнаружив, что все звезды сместились в небе в результате моего ускорения (точнее: все они, кажется, сместились в направлении, в котором я ускорялся). Аналогичный аргумент о свете, который я излучаю, предполагает, что он также весь сгущается в этом направлении, что приводит к хорошо известному явлению, называемому релятивистским излучением, когда что-то, что излучает свет, предпочтительно излучает его в том направлении, в котором оно движется, поскольку оно движется быстрее. и быстрее.