Что Алуффи имеет в виду под «точечным множеством» в книге «Алгебра: Глава 0»?

«Точечные наборы» не определены в книге явно, и я опубликовал несколько примеров, где они упоминаются в соответствии с возрастающим номером страницы.

Глава 1

Страница 19 (Насколько я знаю, это первое упоминание остроконечного набора в книге)введите описание изображения здесь

Страница 24введите описание изображения здесь

Глава 2

Страница 43введите описание изображения здесь

Страница 64

введите описание изображения здесь

Я понимаю конструкцию в главе 1, стр. 24: пример 3.8, а также приведенный здесь ответ, почему уникальная идентичность делает группы точечными множествами? , но я чувствую, что принятый ответ не затрагивает причину того, почему уникальность идентичности делает «группы точечных множеств» в смысле Примера 3.8 на странице 24 (предполагая, что уникальность идентичности имеет значение вообще).

Вопросы

  1. Согласно https://en.wikipedia.org/wiki/Pointed_set , заостренный набор — это просто пара ( Икс , Икс ) где Икс это набор и Икс е Икс . Но я не уверен, что именно это имеет в виду Алуффи, иначе почему он упоминает в главе 2, стр. 43 сразу после доказательства уникальности идентичности в любой произвольной группе, что это «делает группы точечными множествами» в смысле примера 3.8. на 24 странице? Итак, мне кажется, что автор предполагает, что уникальность идентичности является фактором, способствующим тому, что группы являются точечными множествами? Но, с другой стороны, рассмотрение примера 3.8 ничего не говорит о требовании уникальности в контексте групп. Так важна ли уникальность идентичности в группах для установления того, что группы являются точечными множествами?
  1. https://ncatlab.org/nlab/show/pointed+object определяет заостренный объект Икс быть объектом, оснащенным глобальным элементом 1 → Икс где глобальный элемент - это просто морфизм терминального объекта 1 к Икс . Заостренный набор определяется как заостренный объект. С е т . Теперь, если я возьму это определение точечного множества, то каждое непустое множество в С е т представляет собой заостренный объект, что не совсем то, что имел в виду автор по сравнению с примером 3.8? Или, может быть, я не понял определение, данное на nLab. Можно ли на примере показать, что это определение в nLab действительно эквивалентно?
  1. Чтобы еще больше усложнить ситуацию, если я использую определение в nLab, то в Главе 2, стр. 64. Хом г р п ( г , ЧАС ) Быть заостренным множеством для меня не имеет смысла, поскольку я даже не знаю, к какой категории это относится как объект. Так что же Алуффи имеет в виду под «точечным множеством»? То, что сделал Хом г р п ( г , ЧАС ) остроконечный набор? Просто ли оно не пусто, или есть что-то «особенное» в тривиальном морфизме, который делает Хом г р п ( г , ЧАС ) в остроконечный набор? На данный момент я даже не знаю, что означает заостренный набор, и я чувствую себя озадаченным в этот момент.
Текст на странице 24 действительно дает определение: он определяет, что представляет собой объект в С е т * есть, а потом он говорит вам, что "указанный набор" означает объект С е т * .
Точечное множество — это просто множество, содержащее (среди потенциально других элементов) выделенный элемент, называемый точкой.
Чтобы ответить на ваш вопрос 2: заостренный набор - это не просто набор А такой, что существует морфизм 1 → А , а скорее это набор вместе с определенным выбором морфизма 1 → А . Это эквивалентно набору вместе с выбором выделенного элемента. Так ( { 1 , 2 , 3 } , 1 ) и ( { 1 , 2 , 3 } , 2 ) два различных точечных множества.
Каково положение об выделенном элементе? Я предполагаю, что это означает разные вещи в разных контекстах? Например, в произвольной группе это тождество, а в Хом С ( г , ЧАС ) это тривиальный морфизм. Но даже если это так, я все равно не понимаю, как это определение точечного множества совпадает с тем, что дано в nLab.
Вы когда-нибудь видели фундаментальную группу?
@Randall: я видел это во вводном курсе топологии, но я давно не прикасался к нему. Я предполагаю, что вы проиллюстрируете что-то, связанное с базовой точкой? Вы можете дать ответ, связанный с этим, и я могу вернуться к своим заметкам по топологии!
@Nathaniel: Спасибо за комментарий к морфизму выбора. Теперь это имеет смысл для меня :)

Ответы (1)

В общей теории множеств «множество» — это совокупность объектов без различия между ними, а «морфизмы» — это любое отображение одного множества в другое.

«Точечный набор» — это набор объектов с одним объектом, выбранным в качестве специальной «точки». Морфизмы — это только те отображения одного «точечного множества» на другое, которые отображают «особую точку» одного множества в «особую точку» другого.

Например, пусть Икс "=" { а , б , с } и Д "=" { Икс , у , г } . Рассматривая множества, мы можем иметь 3 × 3 × 3 "=" 27 различные отображения из Икс к Д .

В качестве «точечных множеств» мы могли бы иметь Икс "=" { а , б , с ∣ а } , с а выбран в качестве «особой точки» и Д "=" { Икс , у , г ∣ у } с у выбран в качестве «особой точки». Теперь любое отображение должно отображать а к у так что у нас есть только 3 × 3 "=" 9 различные отображения из Икс к Д .

Кристально чистый ответ.
Спасибо за этот ответ, он прояснил мое понимание. Ввиду моего первого вопроса, поэтому мне кажется, что в контексте групп уникальность идентичностей в группах не имеет значения? Важно то, что если мы в г р п тогда, поскольку гомоморфизмы групп переводят тождества в тождества, это гарантирует коммутативность диаграммы посредством гомоморфизма групп (фактически любого гомоморфизма групп, поскольку наша особая точка является тождеством) между указанными множествами?
Принимая во внимание вопрос 3, я предполагаю, что есть некоторая категория, где Хом С ( г , час ) с некоторым морфизмом 1 → Хом С ( г , час ) (где ваш выделенный элемент - тривиальный морфизм), такой, что 1 является терминальным объектом, где это имеет смысл? Какой бы ни была эта категория...
Что Алуффи имеет в виду под «точечным множеством» в книге «Алгебра: Глава 0»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 7v