Что произойдет, если мы разобьем G на классы эквивалентности, индуцированные ее группой автоморфизмов?

Question

Что произойдет, если мы разобьем G на классы эквивалентности, индуцированные ее группой автоморфизмов?

Математика
теория групп
абстрактная-алгебра
группа автоморфизмов

пользователь62783

Представьте, что мы разбиваем G на ее орбиты под действием Aut(G) ( $O_a=\{\phi(a) | \phi \in Aut(G)\}$ ) и рассматривать каждую орбиту как элемент с операцией такой же, как G (поэтому $O_a •O_b=O_{ab}$ ). Если я не ошибаюсь, это должна быть группа. Эта группа чем-то интересна? Я не могу выразить словами, как/почему я пришел к этому, я просто подумал, что если мы нарисуем линии симметрии в фигуре и возьмем одну из подобластей, это даст нам информацию о фигуре в целом, и я Думаю, то, что я сделал, перевело эту идею из алгебры в группы. Я очень плохо разбираюсь в теории групп, поэтому приношу свои извинения, если какая-то часть этого была сформулирована неправильно или я упустил из виду что-то очевидное. Спасибо за любую помощь!

Юрки Лахтонен

Это, вообще говоря, грубее, чем разбиение на классы сопряженности. Я не думаю, что много структуры остается. Рассмотрим следующее. Позволять

p

$p$ быть любым простым и

G = Z / p Z

$G=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ . Мы видим, что существует всего две орбиты:

{0}

$\{0\}$ и

G ∖ {0}

$G\setminus\{0\}$ . Независимо от размера

p

$p$ .

Ответы (1)

Что произойдет, если мы разобьем G на классы эквивалентности, индуцированные ее группой автоморфизмов?

Это, вообще говоря, грубее, чем разбиение на классы сопряженности. Я не думаю, что много структуры остается. Рассмотрим следующее. Позволять $p$ быть любым простым и $G=\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$ . Мы видим, что существует всего две орбиты: $\{0\}$ и $G\setminus\{0\}$ . Независимо от размера $p$ .

Ной Швебер · Answer 1

Предлагаемая вами операция

О_{а}, О_{б} \mapsto О_{а б}

$O_a,O_b\mapsto O_{ab}$ на самом деле не всегда четко определена. Рассмотрим, например, группу рациональных чисел,

Q

$\mathbb{Q}$ , относительно доп. Эта группа имеет только две орбиты, а именно

Q ∖ {0}

$\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ и

{0}

$\{0\}$ . Это означает, что например

О_{1} "=" О_{- 1} но О_{1 + (- 1)} \neq О_{1 + 1} .

$O_1=O_{-1}\mbox{ but }O_{1+(-1)}\not=O_{1+1}.$

В более общем случае, если $G$ абелева группа, в которой есть элемент $a$ которое не является ни тождеством, ни обратным себе, мы будем иметь

О_{а} "=" О_{- а} но О_{а + а} \neq О_{а + (- а)} .

$O_a=O_{-a}\mbox{ but }O_{a+a}\not=O_{a+(-a)}.$

Я только что попробовал это на Z / 6Z и понял это - я действительно разочарован, я думал, что узнаю что-то действительно классное. Возможно, есть какой-то другой способ «уменьшить» G, используя ее группу автоморфизмов, и при этом сохранить структуру?

Что произойдет, если мы разобьем G на классы эквивалентности, индуцированные ее группой автоморфизмов?

пользователь62783

Юрки Лахтонен

Ответы (1)

Ной Швебер

пользователь62783

Порядок группы автоморфизмов, когда все неединичные элементы имеют одинаковый порядок

Группа автоморфизмов прямого произведения групп

Скажите, пожалуйста, что хотел сказать автор? («Темы алгебры, 2-е издание» И. Н. Херштейна)

Почему сопряженность как отношение эквивалентности является особым в группах?

Группа внутренних автоморфизмов как ядро гомоморфизма

Что Алуффи имеет в виду под «точечным множеством» в книге «Алгебра: Глава 0»?

Любой набор с ассоциативностью, левой идентичностью, левой инверсией является группой

Конечный моноид МММ является группой тогда и только тогда, когда он имеет только один идемпотентный элемент

Является ли регулярное групповое действие GGG на себя дважды транзитивным? [закрыто]

Подсчет централизаторов матрицы над конечным полем с конкретным минимальным полиномом