Любой набор с ассоциативностью, левой идентичностью, левой инверсией является группой

Ваше доказательство кажется мне правильным, и также кажется, что вы поняли, в чем проблема с аксиомами. Обычное доказательство прекрасно работает в следующем случае:

Позволять$(G, *)$быть полугруппой. Предположим
(1)$\exists e \in G$такой, что$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$такой, что для всех$e\in G$удовлетворительный 1,$aa^{-1} = e$.

Тогда очевидно, что в этом случае элемент$e$в (1) единственно: Действительно, поскольку$G$непусто (по (1)), пусть$g\in G$быть произвольным. Тогда, если$e_1$и$e_2$удовлетворяют (1), имеем$e_1=gg^{-1}=e_2$.

Следующий случай более интересен:

Позволять$(G, *)$быть полугруппой. Предположим
(1)$\exists e \in G$такой, что$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall e\in G$удовлетворяющие (1) и$\forall a \in G, \exists a_e^{-1} \in G$такой, что$aa_e^{-1} = e$.

Проблема состоит в том, чтобы фактически доказать единственность единицы. Давайте докажем это:

Позволять$e$и$f$удовлетворяют (1). Затем

Я думаю, условия можно было бы более четко сформулировать следующим образом: пусть множество$G$быть снабженным операцией${*}:G\times G\to G$(бинарная операция), элемент$e\in G$(нулевая операция) и карта$i:G\to G$(унарная операция), такая, что для всех$x,y,z\in G$надо

1. $x*(y*z)=(x*y)*z$(ассоциативность)
2. $e*x=x$($e$является левым обратным)
3. $i(x)*x=e$(операция$i$производит левую инверсию, для$e$, своего аргумента)

Покажи то$(G,e,i)$является группой, другими словами, что$e$также является правым нейтральным элементом, и что$i$также производит правый обратный (для$e$) своего аргумента.

(Во-первых, при первом прочтении вашего вопроса мне было непонятно, что ваше "для всех$a\in G$" до самого конца предложения; вместо этого я думал, что вы хотите доказать, что если одно конкретное $a$имеет левую обратную (для$e$), то у него есть и правый обратный. И это просто неправда; подумайте о функциях на бесконечном множестве при композиции, которая ассоциативна и имеет двусторонний нейтральный элемент, но некоторые (инъективные, но не сюръективные) элементы имеют левую обратную, но не правую обратную.)

Что касается доказательства, то я бы из соображений стиля придерживался строгого манипулирования выражениями и избегал «такое-то выражение имеет обратное, применяйте его к обоим концам» (хотя это можно уточнить, вы даже не сказали, если « применение" находится слева или справа). Затем вы увидите из примера в примечании в скобках выше, что необходимо использовать обратное свойство для какого-то другого элемента, кроме$x$, для какого элемента$i(x)$кажется лучшим кандидатом (ваше доказательство делает это неявно).

Я также думаю, что проще всего начать с обратного свойства, которое можно сделать следующим образом:

Вот короткое, но неинтуитивное доказательство (извините):

Заметить, что

Также обратите внимание, что$b \ e = b \ (b^{-1} \ b) = (b \ b^{-1}) \ b = e \ b = b$. Следовательно, левое тождество также является правым тождеством.

4.38 в первом курсе абстрактной алгебры (автор???)

Я представлю свое доказательство (отличное от тех, что в ссылке) для критики, а затем задам свой вопрос. G — множество, а × — ассоциативная бинарная операция. Предположим, что существует ae∈G такое, что для всех a∈G ea=a и a−1a=e для некоторого a−1∈G. Покажите, что для одного и того же e ae=a и aa−1=e.

a−1(aa−1)a=(a−1a)(a−1a)=ee=e=a−1a=a−1(a−1a)a Поскольку a−1∈G, оно имеет левую обратную ; применим его к обоим концам, и мы получим (aa−1)a=(a−1a)a. В результате ae = a(a−1a)=(aa−1)a=(a−1a)a=ea.

Для правого обратного начните с aa-1=a(a-1a)a-1=(aa-1)(aa-1). Поскольку × — бинарная операция, aa−1∈G и имеет левую обратную; применим его к обоим концам, и мы получим e=aa−1.