Что говорит теорема Гаусса о дивергенции о сжатии тела под действием самотяготения?

Под этим вопросом есть комментарий , который меня заинтересовал:

Во-первых, есть заблуждение. Сжатие тела не увеличивает силу тяжести на внешние массы. Это знаменитая теорема Гаусса о расходимости.

Я понимаю, что можно использовать теорему о дивергенции для решения (вывода) теоремы об оболочке - одним из следствий быстрого является то, что частица внутри сферически симметричной оболочки не испытывает чистой гравитационной силы от оболочки, но это кажется другим, поскольку относится к изменениям в среднем плотность тела и гравитационные силы на внешние массы .

Поэтому я хотел бы лучше понять: что говорит теорема Гаусса о дивергенции о сжатии тела под действием самотяготения?

Для справки, этот ответ хорошо охватывает теорему оболочки .

Ответы (1)

Теорема Гаусса о расходимости в применении к гравитационному полю грамм → в том, что

∮ грамм → ⋅ г А → знак равно ∫ ∇ ⋅ грамм →   г В ,
где левая часть представляет собой поток гравитационного поля в/из замкнутой поверхности, а правая часть представляет собой интеграл дивергенции этого поля по объему, ограниченному поверхностью.

Фундаментальное определение того, как масса создает гравитационное поле, состоит в том, что

∇ ⋅ грамм → знак равно − 4 π грамм р ,
куда р это массовая плотность.

Если вы находитесь в точке вне массы, то правая часть теоремы о расходимости становится константой .

∮ грамм → ⋅ г А → знак равно − 4 π грамм ∫ р   г В знак равно − 4 π грамм М .
Следовательно, левая часть также постоянна при расчете над любой поверхностью, охватывающей всю массу.

Если вы позволите массе сжиматься сферически симметричным образом , то, поскольку гравитационное поле слева всегда направлено в радиальном направлении, то грамм → должны оставаться одинаковыми в любом положении в пространстве вне распределения масс.

Вы имеете в виду, что в любом фиксированном (заданном) положении снаружи g останется неизменным независимо от того, насколько оно сжато. g вне любого сферического распределения можно рассчитать, заменив его точечной массой в центре. Верно?
@uhoh Да, это теорема оболочки.
Итак, гравитация на поверхности тела, конечно, будет усиливаться по мере его сжатия. Большой. Я подумал, что в связанном комментарии в моем вопросе было что-то странное. Я не мог понять, как здесь применяется теорема о дивергенции. Спасибо!
Что говорит теорема Гаусса о дивергенции о сжатии тела под действием самотяготения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v