Что именно является детерминированным в уравнении Шрёдингера?

Дело в том, что есть два вида вещей: 1) волновая функция и 2) физические наблюдаемые.

Эволюция волновой функции диктуется уравнением Шредингера и является детерминированной, что означает, что если вы знаете волновую функцию в какой-то момент, то вы знаете ее в любое время, просто используя уравнение Шредингера.

С другой стороны, любая наблюдаемая (например, положение) не является детерминистической в ​​том смысле, что если вы знаете наблюдаемые в какой-то момент, то вообще ничего не можете сказать о частице в какой-то момент в будущем. Не существует уравнения для самих наблюдаемых.

Возвращаясь к волновой функции, я сказал, что она детерминирована. Это верно, если кто-то не измеряет наблюдаемую. В этом случае волновая функция коллапсирует недетерминированным образом. Рядом с измерением эволюция снова становится детерминированной, а именно в момент измерения - нет.

В квантовой механике решения уравнений (Шрёдингера, Дирака...), называемые волновыми функциями, детерминированы при каждом$\left(x,\,y,\,z,\,t\right)$точку, но единственное предсказание, которое они дают, — это распределение вероятностей, которое зависит от граничных условий задачи.$Ψ$- комплекснозначная функция, а измерения - действительные числа, и это распределение$Ψ^*Ψ$( абсолютный квадрат или квадрат нормы$ψ$), что дает вероятность найти частицу в данной точке пространства-времени.

Вероятности по определению означают, что необходимо провести множество измерений в одних и тех же граничных условиях и провести сравнение между прогнозируемым распределением вероятностей и измеренным. Таким образом, несмотря на то, что распределение является строго детерминированным, его сравнение с одним данным является вероятностным.

Обратите внимание на то же утверждение граничных условий . После проведения измерения граничные условия меняются,$Ψ$необходим системе после измерения, которое называется «схлопыванием волновой функции». В экспериментах наблюдается не одно и то же рассеяние или распад частиц, но большое количество одних и тех же граничных условий устанавливает для накопления распределения вероятностей для сравнения.

Изменить после комментария:

Под граничными условиями я подразумеваю действительные числа, которые необходимо ввести, чтобы математическая формула давала предсказания для конкретных наблюдаемых эксперимента. Например, энергия и импульс для получения сечения из эксперимента по рассеянию двух протонов, как в LHC.

В стандартной интерпретации квантовой механики эволюция системы во времени и то, что мы наблюдаем, разделены (в отличие от ньютоновской механики). Система, пока не наблюдается, существует в суперпозиции состояний (всех состояний, удовлетворяющих уравнению Шредингера). Эти состояния (пока не наблюдаемые) развиваются во времени в соответствии с уравнением Шредингера. Эта часть — вплоть до точки наблюдения — полностью детерминирована.

Если наблюдатель не появится, то это конец истории. Если, однако, кто-то приходит и делает наблюдение, то система, которая до наблюдения находилась в нескольких состояниях, переходит в одно состояние, и таким образом измеряется только одно состояние. То, как выбирается это состояние, считается квантовой механикой полностью недетерминированным.

Обратите внимание, что

1. Эта интерпретация квантовой механики известна как копенгагенская интерпретация и на сегодняшний день является наиболее распространенной интерпретацией квантовой механики, она есть во всех учебниках.
2. Эта общая проблема известна как «проблема измерения» и является наиболее спорным аспектом квантовой механики.
3. Были предприняты попытки добавить в формализм дополнительные переменные, чтобы сделать результат измерения детерминированным (см., например, статью Эйнштейна об ЭПР), однако эти попытки вызывают несоответствия в теории квантовой механики. Таким образом, в настоящее время считается, что квантовая механика является законченной теорией, т. е. мы не можем ничего добавить к ней, не порождая противоречий.

Это очень противоречивая часть теории квантовой механики, но, похоже, с этим нам придется смириться.

Я надеюсь, что это искупление поможет.

Хотя есть и другие полные ответы, я хотел бы изложить резюме в одном предложении, поскольку этот момент недостаточно подчеркнут. На ваш заглавный вопрос:

Что именно является детерминированным в уравнении Шредингера?

Ответ: Все. Абсолютно, однозначно, vollständig, del tutto, complètement, whollus bolus, bet-yer-life-on-it Все.

Эволюция квантового состояния во времени абсолютно детерминистична , и уравнение Шредингера было бы тем, с чем сам Лаплас со своим деймоном-фамильяром был бы вполне согласен. Состояние системы со сложными значениями могло показаться ему немного странным, но с его математическим образованием он без труда уловил бы эту идею и органично вписал ее в свою философию детерминизма. Помимо особых свойств унитарности и сложности, он точно такой же, как любой другой переход состояния линейной системы .

Недетерминированная (в большинстве интерпретаций) часть квантовой механики, отличающаяся от идеи Лапласа, заключается в том, как мы выводим значения измерений из состояния системы — так называемая проблема измерения . В классической физике теоретически существует однозначное отображение состояния системы на любое измерение, которое мы проводим в этой системе, и единственным ограничением этого понятия являются практические аспекты, такие как шум измерения и теоретически обратимый эффект наблюдателя . В квантовой механике квантовое состояние определяет статистические распределения измерений, выполненных на ансамбле квантовых систем с рассматриваемым состоянием. Подробнее об этом я говорю в своем ответе о квантовом измерении здесь .

Упрощенно, так как OP попросил простого объяснения:

КМ детерминистически описывает эволюцию во времени системы, которая является моделью не «наблюдаемой вселенной», а «всех возможных вселенных». (На самом деле это не совсем правильно для любой конкретной проблемы реального мира, которую вы рассматриваете, потому что она уже упрощена до минимальной модели закрытой системы, которую можно решить, но концепция по-прежнему имеет смысл говорить о ней.)

К сожалению (с точки зрения того, кто хочет использовать модель для предсказаний), нет способа измерить или хотя бы приблизить «состояние всех возможных вселенных» в данный момент времени, и даже если бы вы могли каким-то образом сделать это, чтобы запустить эволюцию как симуляция, ваши результаты расскажут вам только обо всех возможных вселенных, а не о реальном мире, в котором вы живете.

Имея это в виду, чтобы использовать это для осмысленных прогнозов, вы должны интерпретировать то, что по сути является условными вероятностями, обусловленными наблюдениями: учитывая, что я измерил [что-то] во времени$t_0$, шанс найти [какое-то другое измерение] в [некоторой окрестности/интервале] в момент времени$t_1$есть [некоторая вероятность].

"Кто-нибудь может объяснить просто?"

Результат измерения наблюдаемой для некоторой системы в некотором состоянии, вообще говоря, не определяется КМ.

Ожидаемое значение измерения наблюдаемой для некоторой системы ( обычно изменяющееся во времени, определяемое SE) определяется QM.

Другими словами, если у вас есть ансамбль одинаково подготовленных систем, КМ предсказывает среднее значение ансамбля измерения наблюдаемой по мере ее изменения во времени. QM вообще не может (не может) предсказать результат измерения для любого члена ансамбля.

С математической точки зрения уравнение Шредингера представляет собой тип линейного уравнения в частных производных, известного как волновое уравнение. Волновое уравнение, с которым вы, возможно, знакомы из других исследований УЧП, является детерминированным, потому что оно развивается в том смысле, что если вы знаете начальные условия в начальный момент времени, вы точно знаете, какой будет волна, описываемая этим уравнением. более позднее время. Состояние в более позднее время определяется начальными условиями и эволюционирует во времени к этому состоянию в соответствии с волновым уравнением: вы останавливаете время на мгновение и «знаете», каким оно будет.

В случае уравнения Шрёдингера волна (в том виде, в каком она была изначально задумана) представляет собой распределение вероятностей (отсюда и термин «волновая функция»). Распределение вероятностей эволюционирует детерминированным образом в соответствии с линейным УЧП (распределения вероятностей могут делать это в общем случае), но результаты измерений, очевидно, «не детерминированы», потому что вы «не знаете, что получаете», когда опускаете ваша рука в сумке, хотя вы знаете вероятность того, что вы можете получить.

Есть более сложные способы прийти к такому же заключению, но я думаю, что это самый простой способ (не вникая в основы КМ).

Уравнение TL;DR Шредингера определяет волновую функцию. Волновая функция определяет вероятности. Но положение частицы, например, не определяется вероятностью.

Если вы знаете волновую функцию$\Psi(x,t)$в какой-то момент$t_0$, уравнение Шредингера даст вам волновую функцию для всех$t>t_0$. Это означает, что уравнение определяет эволюцию волновой функции$\dagger$.

Если мы хотим узнать, скажем, положение частицы, КМ не даст нам функции$x(t)$определено для всех$t$. Что может дать нам КМ, так это вероятность того, что частица находится в некотором интервале$(a,b)$вовремя$t$. Но сама по себе вероятность не определяет положение частицы. Частица может также находиться вне$(a,b)$. Таким образом, теория не является детерминированной.

$\dagger$Обратите внимание, однако, что измерения будут коллапсировать волновую функцию недетерминированным образом.

Стандартный ответ на этот вопрос заключается в том, что система развивается детерминистически в соответствии с уравнением Шредингера, за исключением случаев, когда она измеряется. При измерении волновая функция коллапсирует в один из возможных результатов измерения. Есть много проблем с этим способом понимания мира. Например, если вы не укажете, как коллапсирует волновая функция, вся идея коллапса будет расплывчатой ​​и случайной. Если вы укажете, как он схлопывается, вам придется модифицировать квантово-теоретические уравнения движения, а все существующие модификации создают множество проблем.

Так что стоит задуматься, нужен ли вообще коллапс. Как бы выглядел мир, если бы коллапса никогда не было? Физическая реальность будет полностью развиваться согласно некоторому квантово-механическому уравнению движения. И, как указывал Эверетт в 1957 году, несколько версий каждой физической системы будут существовать после измерения или любого другого взаимодействия, которое передает информацию между системами. Физики не принимают это широко по причинам, которые мне кажутся неясными, но у этого есть то преимущество, что оно является последовательным и ясным при объяснении экспериментальных результатов. Система может развиваться так, что

Таким образом, система, которая начиналась в одном состоянии, со временем могла дифференцироваться в несколько версий. Если существует только одна версия каждой системы, и эта версия эволюционирует в два разных состояния, это недетерминировано. Если существует несколько версий, то как они могут детерминистически эволюционировать в разные версии, не будучи изначально разными? Процесс детерминирован, поскольку вектор$|x\rangle$можно разделить на наборы, каждый с одинаковым значением$x$некоторых наблюдаемых, потому что$|x\rangle = \sum_i \alpha_i|x\rangle$для любого набора действительных чисел$\alpha_i$такой, что$\sum_i \alpha_i=1$. Таким образом, вектор представляет собой непрерывный набор идентичных версий системы. Они идентичны в том смысле, что никакое измерение не может их различить. Таким образом, приведенная выше эволюция описывает ситуацию, в которой некоторые версии системы после эволюции отличаются от их состояния до эволюции, но нет никакого фактора, о том, какая из версий системы до эволюции соответствует определенное состояние после эволюции. правило определяет амплитуду каждого последующего состояния, но не говорит, что вы увидите единую версию системы после измерения. Разные версии вас увидят разные версии результата, и нет единого факта, какой результат вы увидите. Дополнительные пояснения по этому и другим вопросам см. в разделе "