Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Редактировать. Во-первых, я не понимаю рисунки, изображающие падающую и отраженную волны. Они сложные. На шаге обращаются в нуль только мнимые части для всех компонент волны.

Что касается вашего вопроса, возможно, вам поможет аналогия. Рассмотрим струну или, лучше, две нити разной линейной плотности, связанные вместе. Если вы посылаете волну по струнам, в точке соединения будет частичное отражение, как если волна идет от более легкой струны к более тяжелой, так и наоборот.

Говоря языком электроники, несоответствие импеданса вызывает отражение. Здесь место импеданса занимает соотношение$\psi'/\psi$. Уравнение Шредингера

То же самое происходит для вашей проблемы с потенциальным шагом.

Чтобы получить физическую интуицию, рассмотрим физический аппарат, который создает потенциальную ступеньку в случае электрона. Представьте себе ряд плоских проволочных сеток или сеток, соединенных батареей:

Батарея придает области B положительный электрический потенциал по сравнению с областью A, поэтому электроны (которые отрицательно заряжены) будут ощущать падение потенциальной энергии при переходе из A в B. Другими словами, они испытывают большую силу к прямо в узком промежутке между областями A и B, где меняется напряжение. Именно здесь на диаграмме потенциальной энергии возникает ступенька. Электронные волны, достигающие этой ступени, испытывают этот сильный «толчок», который резко заставляет их менять форму на волны с меньшей длиной волны. Я думаю, что эта картина помогает физической интуиции понять, почему электронные волны могут реагировать на эту ситуацию частичным отражением.

Обратите внимание, что резкость удара вызывает отражение. Позволять$L$— ширина узкой области между двумя центральными сетками, где меняется потенциал (а значит, и длина волны). Если длина волны достаточно мала, т.е. когда$\lambda \ll L$, то волны могут непрерывно изменять свою длину волны по мере прохождения через эту область, и в этом случае отражение стремится к нулю. Когда$L \ll \lambda$, с другой стороны, происходит отражение (и рассчитывается обычным образом, формулируя решение уравнения Шредингера и следя за тем, чтобы волновая функция и ее градиент были непрерывными). «Ступенчатый» потенциал представляет собой идеализацию, которая требует$L=0$. Это физически невозможно; это действительно приближение, которое подходит для случая$L \ll \lambda$.

у электрона достаточно энергии, чтобы пересечь ступеньку, но из-за неопределенности есть шанс, что он будет отброшен назад

как его можно отодвинуть на ступеньку, даже если потенциальная энергия уменьшается, так что проход должен быть облегчен?

Здесь есть проблема с вашей интерпретацией волновой функции. Волновая функция — это не электрон. Прежде чем мы измерим, что электрон где-то находится, он нигде не находится. Поэтому нельзя говорить о том, что электрон достиг ступеньки и отскочил или был отброшен назад.

Мы можем говорить о том, как волновая функция изменяется во времени в соответствии с уравнением Шредингера. Точно так же, как законы Ньютона говорят нам, как классическая траектория частицы изменяется во времени, уравнение Шредингера может рассказать нам, как развивается волновая функция.

Так что то, что на самом деле отражается или передается через ступеньку, — это просто волновая функция, которая кодирует вероятность измерения того, что электрон находится в каком-то положении. Шаг влияет на эти вероятности.

В случае начального гауссовского пакета, приближающегося к ступеньке, разрешены решения, в которых волновой пакет движется в противоположном направлении, что соответствует измерению того, что электрон имеет импульс в направлении, противоположном начальному направлению. Но мы не можем применять классические рассуждения, как указано выше. Волновая функция, отражающаяся от ступени, — это не то же самое, что электрон, отражающийся от ступени. Именно так развивается волновая функция в соответствии с уравнением Шрёдингера, и это становится возможным для наших измерений.

Я также должен отметить, что в случае шага вверх отражение волновой функции не связано с неопределенностью. Для обоих ступенчатых сценариев причина отражения волновой функции связана с той же причиной, которая обсуждалась выше.

Один из способов подумать обо всем этом — понять две вещи:

• Уравнение Шредингера дает временную эволюцию волновой функции.
• Для унитарного независимого от времени гамильтониана (что имеет место в вашем примере) комплексное сопряжение уравнения Шрегингера и инвертирование направления времени возвращает исходное уравнение.

Таким образом, наивно предположить, что комплексное сопряжение волновой функции эволюционирует назад во времени точно так же, как волновая функция развивается вперед во времени. Если смешиваются несколько волновых функций, то комплексное сопряжение может привести к относительным разностям фаз. Однако для одной волновой функции комплексное сопряжение не изменит наблюдаемые.

Следовательно, зная, что волновая функция отражается при достижении более высокого потенциала, вполне естественно ожидать аналогичного отражения, когда мы переходим к более низкому потенциалу, поскольку переход от более низкого к более высокому потенциалу в прямом времени эквивалентен переходу от более высокого к более низкому потенциалу в обратном направлении. время. На самом деле, осознание этого также показывает, что отражение не имеет ничего общего с потенциальным увеличением. Это просто следует из того, что потенциал там меняется.