Что означает, что закон является фундаментальным?

Грубо говоря, один закон является более фундаментальным, чем другой, если он объясняет его. (Нет никакой гарантии, что какой-либо закон является «фундаментальным» в том смысле, что нет ничего еще более фундаментального; возможно, все законы имеют более глубокое объяснение, но в любой момент времени наши знания конечны.)

Самое очевидное предположение о том, что это значит для$A$объяснять$B$в том, что$B$выводится из$A$, но если дедукция работает в обе стороны, это не показывает, что является более фундаментальным, и это то, на что вы наткнулись. (Если вы хотите получить техническую информацию, то в философии науки простым определением объяснения, которое я только что подверг критике, является дедуктивно-номологическая модель .) Действительно, мы можем получить закон Кулона как частный случай закона Гаусса или закон Гаусса из модели Кулона. закон линейности.

Более фундаментальные утверждения обеспечивают более глубокое понимание. Закон Гаусса является более фундаментальным в том смысле, что из уравнений Максвелла мы получаем описание электромагнитных полей с помощью векторного исчисления, которое работает для произвольных распределений заряда. Именно в этот момент поля$\vec{E},\,\vec{B}$связаны в теории, которая их объединяет. Объединение обычно является признаком более глубокого понимания физики, тогда как закон Кулона говорит только о$\vec{E}$.

Из уравнений Максвелла возникают лоренц-инвариантные волновые уравнения, которые в конечном итоге вдохновили специальную теорию относительности. Если мы перепишем$\vec{E},\,\vec{B}$с точки зрения$\vec{A},\,\phi$(которые объединяются в$A^\mu$релятивистски), мы сводим закон Гаусса к$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$. Но явно релятивистский формализм дает еще более глубокое понимание электромагнетизма, далеко превосходящее все, что мог вообразить Кулон.

В этот момент мы задаемся вопросом только, где$A^\mu$происходит от. Скалярная электродинамика объясняет это в терминах локальных симметрий скалярного поля; это обеспечивает еще более фундаментальное изложение. (Мы могли бы пойти дальше, но вы понимаете мою точку зрения.)

Закон Гаусса является более фундаментальным в нескольких отношениях:

Он применим в большем количестве ситуаций:

Версия закона Гаусса, в которой используется векторный потенциал, по-прежнему действительна в квантовой теории поля, независимо от выбора калибровки, тогда как закон Кулона возникает только после выбора кулоновской калибровки.$\nabla\cdot\vec{A}=0$.

Это требует меньше физических предположений:

Закон Гаусса — это, по сути, просто теорема о расходимости, которая не требует никаких физических предположений, поскольку это математическое утверждение, основанное на структуре$\mathbb{R}^3$. Затем закон Гаусса определяет заряд как дивергенцию электрического поля*, масштабированную произвольной константой. Между тем, закон Кулона, по сути, начинается с предположения о потенциале взаимодействия, которое является физическим предположением, и определяет заряд на основе этого физического предположения. Их можно поставить в равное положение, если предположить, что ни заряд, ни электрическое поле не движутся, но это также физическое предположение.

Он имеет более широкое значение в целом:

Закон Кулона — это утверждение о силах и/или электрических полях, возникающих в присутствии заряда. Закон Гаусса, напротив, представляет собой утверждение о поведении электрического поля в целом, независимо от того, присутствует заряд или нет. Таким образом, закон Гаусса по-прежнему дает полезные утверждения в контексте электромагнитного излучения в вакууме, в то время как закон Кулона дает лишь пустой ответ.

*Здесь мы предполагаем существование электрического поля. Это не проблематично, поскольку даже КТП считает это фундаментальным.

Грубо говоря, более общую валидность можно рассматривать как более фундаментальную.

В случае сравнения между законом Гаусса и законом Кулона оба в точности эквивалентны в статических случаях, но закон Гаусса также является действительным законом в общей ситуации. Таким образом, закон Гаусса можно считать более фундаментальным, чем закон Кулона.

Другими словами, закон Кулона,

является допустимым выражением для электрического поля в точке$\vec{r}$из-за распределения заряда$\rho(\vec{r'})$только в статической ситуации.

Но закон Гаусса,

является одним из общих уравнений Максвелла и всегда справедливо как в статическом, так и в динамическом случае.

В статическом случае$(2)$подразумевает$(1)$(и наоборот) и, следовательно, эквивалентны. Но, в общем случае,$(1)$не держит пока$(2)$делает - делает$(2)$более фундаментальный, чем$(1)$. Так что, как я сказал, в грубом смысле мы называем что-то более фундаментальным свойством законов физики, если оно выдерживает большее количество обобщений.