Что произойдет с шариком, находящимся на наклонной плоскости без трения?

... крутящий момент, создаваемый$N$равен нулю, но крутящий момент, создаваемый$mg$не равно нулю. Это означает, что мяч должен катиться...

На самом деле это означает, что угловой момент вокруг этой оси должен увеличиваться. Это не то же самое, что прокатка. Если ось проходит через центр масс объекта, то единственный способ увеличить угловой момент - это катиться. Однако, если ось не проходит через центр масс, тогда также возникает угловой момент из-за линейного движения. В других ситуациях это разница между орбитальным угловым моментом и спиновым угловым моментом. Итак, вычислим «орбитальный» момент количества движения в этой задаче.

Крутящий момент$m g R \sin(\theta)$где$R$радиус шара и$\theta$это угол наклона.

Величина «орбитального» углового момента определяется выражением$R m v$где$v$- линейная скорость центра масс, поэтому ее производная по времени равна$R m a$где$a$- линейное ускорение центра масс.

По законам Ньютона линейное ускорение — это составляющая силы тяжести, направленная вниз по склону. Это$ma=mg \sin(\theta)$так$a=g \sin(\theta)$.

Подстановка линейного ускорения во временную производную от орбитального углового момента дает$R m g \sin(\theta)$который равен крутящему моменту. Это означает, что увеличение углового момента за счет крутящего момента полностью объясняется увеличением «орбитального» углового момента, и не остается избыточного крутящего момента для увеличения «спинового» углового момента. Следовательно, мяч не вращается/не катится независимо от того, какую ось вы исследуете.

Итак, что же произойдет с шариком, находящимся на наклонной плоскости без трения, — он будет скользить или катиться?

Отсутствие трения означает, что поверхность наклона не может оказывать никакого крутящего момента на мяч. По второму закону Ньютона это означает, что состояние вращения шара остается неизменным, а именно:

• если бы мяч вращался с угловой скоростью$\omega$то он просто продолжит это делать:$\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$.
• если бы мяч вообще не крутился($\omega=0$), то скольжение по склону без трения не изменит$\omega$. Снова$\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$.

Чтобы произошло любое изменение вращательного состояния, крутящий момент$\tau$необходимо воздействовать на мяч так, чтобы:

но с$\mu=0$,$\tau$всегда$0$.

чтобы увидеть, что произошло, давайте посмотрим на уравнения движения:

случай I: мяч катится без проскальзывания:

у вас есть три уравнения для трех неизвестных$\ddot{s}\,,\ddot{\varphi}\,,F_c$

вы получаете:

случай II: мяч скользит:

Это ваш случай, потому что у вас нет контактной силы$F_c$.

в этом случае контактная сила$F_c$равен нулю.

случай III: Мяч катится:

вместо уравнения (3) у вас теперь есть уравнение для силы трения

вы получаете:

так что если$\mu=0$мяч скользит это случай II

Мяч будет скользить. Вы ошиблись, выбрав «ускоряющую ось» (точка контакта, через которую проходит ось, ускоряется). Обратите внимание, что вы можете формировать уравнение крутящего момента только относительно оси, которая неподвижна или перемещается с постоянной скоростью.

Прелесть центра масс в том, что уравнение крутящего момента можно применить к оси, проходящей через COM, независимо от того, ускоряется эта ось или нет. (Вот почему COM является наиболее популярным выбором для применения уравнения крутящего момента). Это свойство справедливо только для центра масс. (Вы должны попытаться доказать это)

Чтобы получить правильные уравнения, вы должны применить псевдосилы ко всем частицам твердого тела (попробуйте!). Затем вы должны найти крутящий момент из-за приложенной псевдосилы (я называю это «псевдокрутящим моментом»).

Очень легко показать (я оставлю это вам в качестве упражнения), что крутящий момент, вызванный всеми псевдосилами, можно получить, рассматривая псевдосилу, действующую в одиночку в центре масс твердого тела.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Значение оси ускорения: представьте частицы на твердом теле, через которое проходит ось вращения. Тогда частицы твердого тела, через которое проходит ось, могут ускоряться, увлекая за собой и ось.

Ускорение оси такое же, как и у частиц, через которые проходит ось.

Представьте, что вы сидите на движущейся оси (точнее, прикрепите к движущейся оси поступательную систему), удивительное свойство твердого тела состоит в том, что вы будете наблюдать, как все тело вращается вокруг этой оси, и угловая скорость вращения будет одинаковой для весь набор точек, через которые вы решили проткнуть ось вращения.

Я думаю, что большая часть путаницы возникает из-за ложного представления о том, что момент [или крутящий момент, я использую эти слова как синонимы, сравните момент (физика) ] может иметь ось или место. В классической механике такой крутящий момент связан с любым твердым телом, а не с конкретным местом на этом теле.

Строгий метод

Обычно вы отделяете твердое тело от его окружения, тем самым вводя граничные силы, действующие на него, в дополнение к любым объемным силам, возникающим из-за силового поля, такого как гравитация, и возможных крутящих моментов, которые приложены извне.

Затем, чтобы определить изменение движения тела, вы должны отделить силы от крутящих моментов, сместив силы перпендикулярно их линии действия, чтобы все они в конечном итоге воздействовали на центр масс тела (ЦМ). Для каждой смещенной силы вам придется ввести компенсирующий вращающий момент смещения: если перемещение силы вдоль линии ее действия не имеет физических последствий, то перемещение ее любым другим способом имеет.

Как только вы закончите перемещать все силы в ЦМ тела, вы суммируете все силы, чтобы получить общую силу, действующую на ЦМ тела. Примерно таким же образом вы суммируете все вращающие моменты смещения и любые вращающие моменты, действующие извне, и результатом будет общий вращающий момент, воздействующий на тело. Вы можете обозначить свой крутящий момент круглой стрелкой в ​​любом месте диаграммы, не имеет значения, где вы его поместите.

Применяя это к вашему примеру, вы уже закончили с первой диаграммой: линии действия всех сил пересекаются в центре шара. Делать нечего, а крутящий момент нулевой. Мяч будет скользить.

Интуиция

Противоречит интуиции принятие того, что величина крутящего момента, приложенная в одном месте, должна оказывать такое же влияние на твердое тело, как и такая же величина крутящего момента, приложенная в другом месте того же тела: интуиция подсказывает, что тело должно начать вращаться вокруг оси, к которой приложен крутящий момент.

Однако это верно только в том случае, если указанная ось находится в ЦМ тела. Тело всегда будет вращаться вокруг своего ЦМ только в том случае, если к нему не будет приложена никакая другая сила.

Подумайте о колесе с осью, которая находится не посередине, а, скажем, немного в стороне. Если вы подвесите эту ось в фиксированной и жесткой раме, а затем приложите крутящий момент, колесо определенно начнет вращаться вокруг оси, и ЦМ колеса также будет вращаться вокруг оси. Тем не менее, ваша подвеска, следовательно, будет воздействовать на ось, вращаясь с той же скоростью, что и колесо. Это называется эксцентричностью. А теперь представьте, что вы вдруг отпустили колесо. Он будет продолжать двигаться с мгновенной скоростью своего ЦМ и продолжать вращаться вокруг своего ЦМ, который не находится на оси. Следовательно, у вас будет летающее колесо, как правило, на параболической кривой, и его ось будет вращаться вокруг ЦМ. Обратите внимание, что после этого колесо больше не будет вращаться вокруг указанной оси, потому что без подвески

Несколько человек предположили, что точка контакта будет действовать как ось. Я не понимаю, как это происходит, так как это никоим образом не ограничено. Например, ось колеса ограничена тем, что она прикреплена к машине или велосипеду, поэтому, если вы нажмете на обод, сила будет вращаться вокруг оси. Если я толкну человека (стоящего на нормальном грунте) рядом с его ЦТ, ноги этого человека будут ограничены трением, и он будет вращаться вокруг них — он опрокинется или даже упадет.

Точка контакта между мячом и поверхностью не ограничена ни проходящим через нее стержнем, ни трением, поэтому вероятность того, что она будет действовать как ось, не выше, чем у любой другой точки. Возвращаясь к моей аналогии с толканием человека, это как если бы на нем были коньки, и я толкаю его в том направлении, куда они указывают, — он не упадет, он будет скользить.

Я не могу оставлять комментарии, поэтому пишу здесь.

Катите игрушечную машинку по поверхности под любым углом, и колеса вращаются. Это потому, что трение прикладывает силу в точке контакта между колесами и поверхностью.

Теперь переместите его параллельно поверхности на несколько сантиметров. Колеса не вращаются, потому что в точке контакта нет силы. Причина отсутствия силы в том, что нет трения (в данном случае, потому что она не соприкасается), на поверхности без трения не было бы трения, даже если бы вы касались ее, потому что она без трения.

Крутящие моменты и угловой момент системы должны измеряться относительно некоторого начала координат. Если центр масс системы не ускоряется относительно инерциальной системы отсчета, этим началом может быть любая точка. Однако, если оно ускоряется, то это должен быть ЦМ. Поэтому предполагать ось в точке контакта неправильно.

И мяч обязательно будет скользить..

Мяч будет катиться. Центр масс мяча не находится вертикально над точкой соприкосновения, поэтому ничто не мешает ему упасть вертикально.

Два упомянутых вами вывода не противоречат друг другу — вы просто неправильно поняли их значение.

Крутящего момента вокруг центра шара нет.

Поворотный момент касается точки соприкосновения. Это заставит мяч вращаться вокруг точки контакта, в результате чего мяч будет вращаться также вокруг своего центра масс.

Бессмысленно утверждать, что для возникновения крутящего момента требуется трение. Предположим, вы заменили шарик карандашом, наклоненным перпендикулярно склону. Карандаш не будет скатываться по пандусу, все время наклоняясь, он будет то опрокидываться, то скользить. Опрокидывание происходит вследствие крутящего момента вокруг точки соприкосновения.

Чтобы нажать на точку, представьте карандаш, опирающийся на плоскую поверхность без трения. Карандаш, конечно, будет вращаться и опрокидываться. Отсутствие трения облегчает, а не препятствует вращению.

Причина, по которой падение на лед является обычным явлением, заключается именно в том, что отсутствие трения делает невозможным противодействие крутящему моменту вокруг точки контакта с землей, если человек не остается достаточно вертикальным. На наклонной обледенелой поверхности эффект хуже, чем на ровной.