Через сколько времени катящийся шар остановится?

Меня смущает проблема, которая, кажется, имеет два отдельных, действительных решения, которые противоречат друг другу.

Допустим, мы берем тонкий диск, подпираем его, толкаем, а затем наблюдаем, как он движется по земле. Он замедляется и в конце концов останавливается. Диск имеет массу М и радиус р , и первоначально катится с начальной угловой скоростью ю я . Центр масс диска движется вправо и имеет момент инерции я "=" 1 2 М р 2 . Диск, движущийся вправо, замедляется из-за силы трения покоя. Ф который создает чистый крутящий момент т "=" Ф р грех ⁡ 90 º "=" Ф р которая противостоит угловой скорости. Диск катится без проскальзывания.

введите описание изображения здесь

Диск останавливается( ю ф "=" 0 ) через время т . Используя второй закон Ньютона, примененный к вращению, угловое ускорение равно т "=" я α "=" Ф р . Определение углового ускорения α "=" ∆ ю т . Их объединение дает:

α "=" Ф р я "=" 0 − ю я т →

т "=" ю я я Ф р "=" ю я Ф р ( М р 2 2 ) "=" ю я М р 2 Ф Е д . 1
(Я игнорирую знаки и делаю все значения положительными.)

Теперь давайте решим на время т остановиться, используя второй, другой метод. Второй закон Ньютона для линейного движения гласит, что Ф н е т "=" М а , а определение ускорения а "=" ∆ в т . Их объединение дает:

а "=" 0 − в я т "=" Ф М →
т "=" в я М Ф "=" ( ю я р ) М Ф Е д . 2
потому что линейная скорость в я связана с угловой скоростью ю я по формуле: в я "=" ю я р .

Но эти два выражения для времени т ( Уравнение 1 и уравнение 2) не эквивалентны, потому что уравнение. 1 имеет дополнительный множитель 2 в знаменателе, который отсутствует в уравнении. 2 :

ю я М р 2 Ф ≠ ю я М р Ф

Где я ошибаюсь?

Ответы (1)

Хороший вопрос. Проблема здесь, похоже, в том, что вы пытаетесь реалистично взглянуть на нереальную/невозможную ситуацию. См. ниже...

Во-первых, α и а не одно и то же. Вы можете легко достичь нуля а до достижения нуля α . Вы можете предположить, что они должны быть связаны, потому что — интуитивно, судя по эскизу — мяч, конечно, будет двигаться при качении, и наоборот, конечно же, при движении он будет катиться.

Но вот проблема: эскиз нереалистичен. Любая ваша интуитивная идея на самом деле не будет иметь смысла, поскольку описанная ситуация невозможна. Не может быть статической силы трения (если только сама земля не ускоряется) без присутствия других сил или крутящих моментов.

Такой другой может быть

  • крутящий момент вокруг оси, например, вызванный внутренним двигателем или
  • внешняя толкающая сила где-то на шаре. Например, это может быть просто гравитация (если мяч катится по наклонной плоскости, так что гравитация может влиять на движение).

Без чего-то подобного сила трения покоя не существовала бы. Это сила, возникающая как реакция на другие эффекты (реакция, которая пытается удержать поверхности вместе, если они пытаются скользить), и не существует сама по себе (если поверхности не пытаются скользить).

Если вы действительно хотите рассматривать ситуацию как набросок, то вам придется забыть о предполагаемой связи между движением и качением:

  • Сила вызывает ускорение влево , поэтому мяч будет двигаться влево.
  • Это также вызывает крутящий момент по часовой стрелке , поэтому шарик будет ускорять свое вращение по часовой стрелке.

Они не связаны между собой, и их выражения могут легко отличаться.

Эти два движения не сочетаются друг с другом для катящегося мяча, потому что этот эскиз не показывает реалистичного движения. Но для шара в пространстве, толкаемого такой силой, эти два движения определенно возможны.

@jdphysics То, как точки статического трения зависят от направления, в котором оно катится (это не указано). Но не только это: это зависит и от других сил. Никаких других сил или ускорений, и нет статического трения.
@jdphysics В идеале катящийся диск никогда не остановится. Трения нет. В неидеальном реальном мире возникает трение качения . Это происходит из-за того, что земля слегка деформируется, а перед ней выдвигается небольшая куча материала (катание по песчаному пляжу делает это очень заметным). Однако это не указывает на землю. Скорее это небольшое дополнительное препятствие вызывает изменение нормальных сил, направленных вверх, а также в других направлениях. Такие направленные вверх силы спереди будут создавать противодействующие крутящие моменты, замедляющие качение.
@jdphysics Посмотрите этот ответ на другой вопрос, который показывает хороший набросок именно этого явления трения качения: physics.stackexchange.com/questions/223283/…
Вы совершенно правы — я хочу рассмотреть другой физический сценарий, в котором не действует трение покоя, а действует трение качения. Я отредактировал исходный пост, чтобы отразить некоторые необходимые разъяснения, которые вы указали. Трение качения объясняет, почему v и ω уменьшаются. Спасибо за помощь и ссылку!
Будет ли трение качения включать некоторое статическое трение? В дополнение к различным нормальным силам кажется, что слегка деформированная/негоризонтальная поверхность будет создавать гравитационную составляющую силы, направленную вдоль небольшой деформации наклонной поверхности. Соответственно, эта наклонная составляющая гравитационной силы будет способствовать скольжению поверхностей относительно друг друга, что инициирует статическое трение. Верен ли этот анализ? Или, может быть, эти малые силы статического трения пренебрежимо малы, а переменные нормальные силы — нет?
@jdphysics Добро пожаловать. Да, этот анализ правильный. Если незначительно или нет, на самом деле зависит от поверхности и насколько неидеальна ситуация. точнее не могу сказать.
Трение качения, скорее всего, также вызовет кинетическое трение, потому что, как вы сказали, нижняя часть колеса будет скользить по земле.
Через сколько времени катящийся шар остановится?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v