Что такое магнитный поток? Как это связано с законом Фарадея?

Магнитный поток и закон Фарадея определяются чисто математически. Поскольку математические определения обычно имеют дело с идеализированными понятиями, тонкие проблемы начинают проявляться, когда мы пытаемся применить такие определения к более сложным физическим ситуациям. В частности, нам обычно нужны некоторые физические принципы, связанные с математикой; физика говорит нам, как применять математику.

Магнитный поток и закон Фарадея являются хорошими примерами таких тонкостей и сложностей. Я внимательно пройдусь по определениям, указав на камни преткновения, а затем вернусь к колесу Фарадея. Что наиболее важно, когда речь идет о колесе Фарадея, есть одна тонкость, которая требует дополнительного ввода со стороны физики, а именно, как определить цепь.

---

Начнем с математического определения потока:

$$\begin{equation} \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A}. \end{equation}$$ Вы, наверное, знаете, что $\vec{B}$- вектор магнитного поля, $d\vec{A}$- элемент дифференциальной площади (направление которого нормально к поверхности с некоторым непрерывным выбором направления «наружу» или «внутрь»), и $S$- поверхность, по которой выполняется интеграл. В этот интеграл встроено множество идеализаций. Среди них мы предполагаем, что точно знаем, как разграничить эту поверхность с абсолютно нулевой толщиной и совершенно четкими границами.

Это может вызвать тонкие проблемы, когда мы пытаемся говорить о реальных физических ситуациях. Например, мы можем захотеть поговорить о потоке через проволочную петлю. Но физический провод имеет ненулевую толщину. Должна ли поверхность интегрирования заканчиваться в центре проволоки? На его внешнем краю? Как указать внешний край, если провод не находится в плоскости? Вы часто будете слышать, как люди говорят, что закон Фарадея применим только к «бесконечно тонким» проводам. Я бы предположил, что правильнее будет сказать, что закон Фарадея наивно применим только к тонким проводам; его можно использовать в более общих ситуациях при осторожном применении.

Далее мы приходим к закону Фарадея , который связывает электродвижущую силу$\mathcal{E}$и граница вашей поверхности к производной магнитного потока по времени как

$$\begin{equation} \mathcal{E} = \int_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B} {\mathrm{d}t}, \end{equation}$$ где $\partial S$— граница поверхности, которую мы использовали для определения потока. Здесь есть еще несколько тонкостей. Во-первых, и это очень просто, вы должны быть очень конкретными в отношении поверхности и границы, с которыми вы имеете дело. Во-вторых, производная является полной производной , а не частной производной . Это может быть важно при изменении поверхности интегрирования во времени и при изменении магнитного поля в пространстве и времени.

Эта последняя часть — очень тонкая проблема, хотя она касается чего-то такого важного, как то, как мы определяем схему . Я процитирую Джексона, чтобы объяснить это: «Электрическое поле$\vec{E}$электрическое поле в$d\vec{l}$в системе координат или среде, в которой$d\vec{l}$находится в покое, так как именно это поле вызывает протекание тока, если цепь действительно существует». [ Классическая электродинамика , третье издание, раздел 5.15.] которые они перемещают, вы должны использовать изменяющийся путь цепи.

Теперь, применительно к колесу Фарадея (униполярному генератору), во-первых, вам нужно конкретно определить поверхность, о которой вы говорите, и, следовательно, границу этой поверхности. Студенты часто бегут мимо этой точки и принимают за поверхность сам диск. Но это неправильно, потому что границей этой поверхности является край колеса, поэтому технически вы должны вычислять электродвижущую силу вокругколесо. Но вы измеряете потенциал между центром и краем, так что эта поверхность не работает. Вместо этого нужно взять поверхность, граница которой проходит между центральным контактом и контактом на краю, затем выходит из каждого из них и переходит к какому-нибудь гальванометру или еще чему-то. Стандартным выбором поверхности является квадрат, перпендикулярный колесу, с одним краем вдоль оси колеса и другим краем по радиусу колеса. Теперь возникает парадокс, когда вы понимаете, что$\vec{B}$на самом деле параллельна этой поверхности, поэтому$\vec{B} \cdot d\vec{A}$равен нулю везде и всегда. Так что было бы разумно думать, что

$$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( \vec{B} \cdot d\vec{A} \right) \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( 0 \right) \\ &= \iint_S 0 \\ &= 0, \end{align}$$ что подразумевало бы $\mathcal{E} = 0$. Но это не то, что измеряется. Оказывается, вывод, который я только что дал, неверен.

В приведенном выше (неправильном) выводе использовалась частная производная и игнорировалось движение поверхности. Вы можете разрешить этот парадокс, если вспомните, что рассматриваемая производная является полной производной и что поверхность может двигаться. Джексон сказал нам, что нам нужно использовать путь, стационарный относительно среды . Таким образом, поверхность, по которой мы интегрируем, движется относительно стационарного магнитного поля, о котором нам говорили, и нам нужно дифференцировать стационарное поле относительно движущейся поверхности. Стандартный способ описания полной производной в материале, который движется со скоростью$\vec{v}$в данной точке заключается в использовании «материальной производной» (также широко известной как «конвективная производная»):

$$\begin{equation} \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla}. \end{equation}$$ Чтобы быть немного более конкретным, вы используете эту материальную производную, чтобы получить производную относительно движущихся координат, когда вам дано поле в статических координатах. Теперь мы получаем $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{B} \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) + \vec{v} (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l} \end{align}$$ который не равен нулю. [Чтобы перейти от второй к третьей строке, я использовал стандартное тождество векторного исчисления с предположениями о $\vec{v}$для нашего случая. Чтобы перейти от третьего к четвертому, я использовал тот факт, что $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$. Чтобы добраться до последней строки, я использовал теорему Стокса . Помните, что $\partial S$является границей $S$.]

В качестве альтернативы мы могли бы дифференцировать по стационарным координатам, но обратите внимание, что поверхность меняется в этих координатах. Если мы посмотрим на небольшой сегмент границы$\Delta \vec{l}$, и предположим, что он движется со скоростью$\vec{v}$, то через время$\Delta t$прошло, это ввело новое количество площади на поверхность, заданную

$$\begin{equation} \Delta \vec{A} = (\vec{v} \Delta t) \times \Delta \vec{l}. \end{equation}$$ Это изменяет интеграл потока на $$\begin{equation} \Delta \Phi_B = \vec{B} \cdot \Delta \vec{A} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}) \Delta t, \end{equation}$$ что подразумевает $$\begin{equation} \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}). \end{equation}$$ Теперь мы можем взять пределы малых $\Delta t$и маленький $\Delta \vec{l}$, затем интегрируйте вклад всех этих маленьких $\Delta \vec{l}$сегменты вокруг $\partial S$чтобы получить полную производную потока: $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \int_{\partial S} \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d\vec{l}) \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l}. \end{align}$$ Чтобы перейти из первой строки во вторую, я просто использовал обычное скалярное тройное произведение . И это тот же результат, что и при использовании материальной производной — снова ненулевой.

Я не говорю, что все это вообще очевидно; это, конечно, не очевидно из простых математических определений, которые я дал выше. Но это все просто математика. Ключевым моментом, который следует помнить при применении его к физике, является точка зрения Джексона: вам нужно определить вашу схему относительно среды, через которую на самом деле движутся электроны.

На самом деле нет ничего, что априори давало бы нам ответы — вот почему людям пришлось проводить эксперименты, чтобы понять, как работает физика. На странице парадокса Фарадея в Википедии есть довольно хорошее обсуждение тонкостей закона Фарадея , но лучшее обсуждение колеса происходит на странице индукции Фарадея . И, конечно же, мы все должны более внимательно читать Джексона.

Диск Фарадея является одним из двух случаев, которые цитирует Фейнман ( лекции Фейнмана по физике, том 2, 17.2), в которых индуцируется ЭДС, но без изменения потокосцепления. Это случаи, когда цепь не является четко определенной петлей. Эти исключения не затрагивают основ электромагнетизма: ЭДС индукции по-прежнему правильно предсказывается с помощью$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$.

Что касается магнитных материалов, то именно изменения в полном поле вызывают в материале ЭДС – как и в случае вихревых токов.