Измерение угла при определении магнитного поля бесконечно длинного соленоида

Я сталкиваюсь с сомнением в выводе магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида радиуса$R$.

Чтобы вывести$B$учитываются все петли в соленоиде: по длине$dx$есть$n\,dx$петли, каждая из которых создает магнитное поле, поэтому мы имеем:

$$d B= \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} n \,dx$$

Чтобы получить$B$, рассмотрим отдельно случаи$1$и$2$как на картинке. В обоих случаях ток течет, как указано ($\times$выходит на экран,$\odot$уходит за пределы экрана), но углы (в случае$1$ $\theta$, в случае$2$ $\phi$) измеряются с двух противоположных сторон соленоида.

Случай$1$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \theta}=R$$

$$x-x_0=R \mathrm{cotg \theta} \to dx=-\frac{R}{\mathrm{sin^2 \theta}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} -\mathrm{sin{\theta}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\theta_2}-\mathrm{cos\theta_1})$$

Случай$2$:

$$\sqrt{R^2+x^2} \,\,\mathrm{sin \phi}=R$$

$$x-x_0=-R \mathrm{cotg \phi} \to dx=\frac{R}{\mathrm{sin^2 \phi}} d\theta$$

$$B(x_0)=\frac{\mu_0 n i }{2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \mathrm{sin{\phi}} \,\,\,d\theta =\frac{\mu_0 n i }{2} (\mathrm{cos\phi_1}-\mathrm{cos\phi_2})$$

Вот проблема: в обоих случаях предельное условие бесконечно длинного соленоида состоит в том, что первый угол ($\phi_1$или$\theta_1$) является$0$и второй угол ($\phi_2$или$\theta_2$) является$\pi$.

Тем не менее делая замену в случае$1$я получил

$$B=-\mu_0 n i$$

пока на всякий случай$2$я получил

$$B=+\mu_0 i n$$

что является правильным результатом.

---

Есть ли особая причина, по которой измерение угла должно быть выполнено, как в случае$2$а не как в случае$1$чтобы получить правильный результат? Или оба метода действительны? Если да, то как можно получить другой результат только из-за ориентации измерения угла?