Что-то не так с этим численным моделированием орбит фотонов Шварцшильда?

Question

Что-то не так с этим численным моделированием орбит фотонов Шварцшильда?

Юктерез

Это дополнительный вопрос к ответу, данному в «Какова точная гравитационная сила между двумя массами, включая релятивистские эффекты? » . К сожалению, автор несколько лет не был в сети и поэтому больше не отвечает на комментарии.

В приведенном там ответе дифференциальное уравнение движения в координатах Шварцшильда было

\ddot{р} знак равно - \frac{грамм м}{р^{2}} + р {\dot{θ}}^{2} - \frac{3 грамм м}{с^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 3} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

для радиального ускорения и

\ddot{θ} знак равно - \frac{2}{р} \dot{р} \dot{θ}

$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$

для углового ускорения. Когда я прокладываю путь для объекта со скоростью, близкой к скорости света, с помощью этой формулы я получаю стабильную орбиту на $r_0=2 r_s$ :

Но разве это не должно быть в $r_0=1.5 r_s$ , фотонная сфера ? При такой формуле орбитальная частица очень быстро упадет в черную дыру, например, с $v_0=0.999c$ в $r_0=1.6 r_s$ :

Когда я заменяю термин 3Gm/c² на 2GM/c², чтобы

\ddot{р} знак равно - \frac{грамм м}{р^{2}} + р {\dot{θ}}^{2} - \frac{2 грамм м}{с^{2}} {\dot{θ}}^{2}

$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 2} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$

Я получаю ожидаемый результат со стабильной орбитой прямо на фотонной сфере (начальная скорость снова $v_0=0.999c$ ):

Итак, мой вопрос: является ли формула неправильной и коэффициент 3 нужно заменить на коэффициент 2, или существуют разные минимальные расстояния для стабильных орбит, одно для частиц и одно для фотонов? Или я что-то еще пропустил? Википедия говорит:

Радиус фотонной сферы, который также является нижней границей любой стабильной орбиты , равен $1.5 r_s$

поэтому я ожидаю, что частицы с массой также должны оставаться на орбите, если их скорость близка к скорости света и немного выше фотонной сферы.

Для воспроизведения задачи доступен Mathematica-код , который я считаю правильным (с коэффициентом 2 вместо 3)

Ответы (2)

Что-то не так с этим численным моделированием орбит фотонов Шварцшильда?

Кнчжоу · Answer 1

Кажется, здесь есть несколько неясностей. Массивные и безмассовые частицы ведут себя качественно по-разному, даже если массивная частица движется очень быстро.

Минимальный радиус стабильной орбиты массивной частицы равен $3 r_s$ . Все круговые орбиты выше этого радиуса стабильны.
Безмассовые частицы имеют круговые орбиты только на фотонной сфере, $(3/2) r_s$ . Эти орбиты не стабильны, Википедия ошибается. Безмассовые частицы также подчиняются другому уравнению движения.

Другая путаница заключается в том, что то, что показывают ваши симуляции, не имеет ничего общего со стабильностью. Ваши частицы падают в центр, потому что вы не даете им правильную начальную скорость. Это как в классической механике: если вы вдруг уменьшите половину скорости Земли, она начнет падать внутрь. Чтобы инициализировать их с правильной начальной скоростью, вам нужно решить для $\dot{\theta}$ чтобы $\ddot{r} = 0$ .

Это отличается от безмассового случая, когда начальная скорость уже определена для вас (т.е. это скорость света).

Таким образом, коэффициент 3 в $\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - ({\color{red} 3} G m/c^2)\dot{\theta}^2$ верно для массивных частиц?
Спасибо и +1. Тем не менее, я до сих пор не понимаю, почему я получаю свою стабильную орбиту для частиц при r0 = 2rs с v0 = 0,999c, а не 3rs, поскольку начальная угловая скорость, которую я даю, равна v0/r0, и это должны быть надлежащие длина и время, и поскольку я понимаю это, следовательно, и правильную скорость, но я надеюсь, что я это тоже пойму...
Очень хорошо, за исключением одного; мы проверяем стабильность, воздействуя на v и наблюдая, что происходит.
Ваш ответ действительно помог, но вы уверены, что «минимальный радиус стабильной орбиты для массивной частицы составляет 3 rs»? Когда я компенсирую все сокращения, это все еще 1,5 рупии, как говорит Википедия. Есть ли у вас какие-либо расценки на 3 рупии, или мои расчеты (см. ниже) верны сейчас?
@СимонТыран Я не понимаю, что ты имеешь в виду. Глядя на ваш ответ, похоже, $1.5 r_s$ орбита нестабильна, как и ожидалось.

Юктерез · Answer 2

Благодаря подсказке, данной knzhou, я понял, что если кто-то хочет придать частице правильную начальную скорость $v_0$ , начальная скорость в координатах Шварцшильда $v_i$ тогда будет

\dot{θ} (0) \cdot р (0) знак равно \frac{{в ⊥}_{0}}{\sqrt{1 - в_{0}^{2} / с^{2}}}

$\dot{\theta}(0)\cdot r(0) = \frac{{v\perp}_0}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

для поперечной составляющей и

\dot{р} (0) знак равно \frac{{в ∥}_{0} \cdot \sqrt{1 - р_{с} / р_{0}}}{\sqrt{1 - в_{0}^{2} / с^{2}}}

$\dot{r}(0) = \frac{{v\parallel}_0\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$

для радиальной составляющей, поскольку необходимо компенсировать гравитационное сокращение длины (синий) и сокращение длины из-за скорости частицы (зеленый) по отношению к собственному времени частицы.

Теперь я получаю ожидаемые результаты: круговая орбита с поперечной начальной скоростью вокруг фотонной сферы и стационарная частица с внешней начальной скоростью вокруг горизонта событий, когда v0 установлено близко к c.

Возможно, вы могли бы добавить скорость в координатах времени в качестве одного из параметров, которые вы проверяете ниже моделирования. Просто чтобы убедиться, что объект теряет скорость, как и предполагалось, а затем останавливается на радиусе Шварцшильда.
Вопросу 3 года, тем временем я уже построил симулятор, который показывает локальную и задержанную скорость и который может переключаться с собственного времени на координатное время в качестве параметра анимации, см. kerr.newman.yukterez.net

Что-то не так с этим численным моделированием орбит фотонов Шварцшильда?

Юктерез

Ответы (2)

Кнчжоу

Юктерез

Кнчжоу

Юктерез

Джошуа

Юктерез

Кнчжоу

Юктерез

Агерхелл

Юктерез

Что происходит, когда стабильная орбитальная скорость приближается к скорости света?

Выражение в замкнутой форме для положения как функции времени объекта, падающего прямо в черную дыру из бесконечности

Связь между замедлением времени скорости свободного падения и гравитационным замедлением времени в метрике Шварцшильда

Общая теория относительности Вальда, раздел 6.3, стр. 144

Кривизна света вокруг черной дыры [дубликат]

Интегрирование уравнений геодезических Шварцшильда

Круговая орбита в координатах Шварцшильда [закрыто]

Площадь поверхности черной дыры на радиусе Шварцшильда составляет половину?

Почему вы падаете к центру черной дыры?

Интерпретация нормальных координат